Chủ đề này có 2 trả lời

[jb7185]

1. Tìm GTLN và GTNN của $P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$ biết $(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$ và $a,b,c$ không đồng thời bằng $0$.

2. Tìm GTLN của $P=a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{2}$ biết $a,b,c$ dương và $a+b+c=1$.

3. Tìm GTLN của $P=a^3+b^3+c^3+7\sqrt[3]{(a-1)b(c+1)}$ biết $a+b+c=3$ và $a,b,c\epsilon [0,2]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jb7185: 16-05-2013 - 12:56

[25 minutes]

 

2. Tìm GTLN của $P=a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{2}$ biết $a,b,c$ dương và $a+b+c=1$.

 

Viết theo $p,q,r$ ta có 

                      $P=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+\frac{9abc}{2}=1-2(ab+bc+ac)=1-2q+\frac{9r}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có 

                      $9r \geq 4pq-p^3=4q-1\Rightarrow \frac{9r}{2} \geq \frac{4q-1}{2}$

Do đó $P \geq 1-2q+\frac{4q-1}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[25 minutes]

 

3. Tìm GTLN của $P=a^3+b^3+c^3+7\sqrt[3]{(a-1)b(c+1)}$ biết $a+b+c=3$ và $a,b,c\epsilon [0,2]$

Áp dụng AM-GM ta có $7\sqrt[3]{(a-1)b(c+1)} \leq \frac{7}{3}(a-1+b+c+1)=7$

Dự đoán MAX của $P$ là $16$ khi $a=2,b=1,c=0$ nên ta sẽ chứng minh $a^3+b^3+c^3 \leq 9$ với $0 \leq a,b,c \leq 2, a+b+c=3$

Ta có thể giả sử $2 \geq a \geq b \geq c \geq 0$, việc giả sử này độc lập với sử dụng AM-GM ở trên

Do đó $\left\{\begin{matrix} 2 \geq a \geq 1\\1 \geq c \geq 0 \end{matrix}\right.$

Vì thế ta đặt $\left\{\begin{matrix} a=x+1 ( 1 \geq x \geq 0)\\c=1-y (1 \geq y \geq 0) \end{matrix}\right.\Rightarrow b=1+y-x$

 $\Rightarrow a^3+b^3+c^3=(x+1)^3+(1-y)^3+(1+y-x)^3$ với $x,y \in \left [ 0;1 \right ]$

 Khai triển trực tiếp ta có $a^3+b^3+c^3=3+6(x^2+y^2-xy)+3xy(x-y)$

Do đó ta cần chứng minh $3+6(x^2+y^2-xy)+3xy(x-y) \leq 9\Leftrightarrow 2(x^2+y^2-xy)+xy(x-y) \leq 2$

                     $\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)+xy(x-y) \leq 2(1+xy)$          (*)

Do $x,y \in \left [ 0;1 \right ]\Rightarrow 1+xy \geq x+y \geq x^2+y^2$

+) Nếu $x \leq y\Rightarrow 2(x^2+y^2)+xy(x-y) \leq 2(x^2+y^2) \leq 2(x+y) \leq 2(1+xy)$

   Do vậy ta có đpcm

+) Nếu $x \geq y\Rightarrow (*)\Leftrightarrow x^2+y^2+(x-y)^2+xy(x-y) \leq 2$

                      $\Leftrightarrow x^2+y^2+(x-y+xy-1+1)(x-y) \leq 2$

                      $\Leftrightarrow x^2+y^2+\left [ (x-1)(y+1)+1 \right ](x-y) \leq 2$

                      $\Leftrightarrow x^2+y^2+ (x-1)(y+1)(x-y)+x-y \leq 2$

Lại có $(x-1)(y+1)(x-y) \leq 0$ nên 

                     $x^2+y^2+(x-1)(y+1)(x-y)+x-y \leq x^2+y^2+x-y \leq x+y+x-y=2x \leq 2$

  Do vậy ta cũng có đpcm

Vậy $a^3+b^3+c^3 \leq 9$ với $a,b,c \in \left [ 0;2 \right ],a+b+c=3$

Kết hợp với AM-GM ở trên ta có $P_{max}=16\Leftrightarrow (a,b,c)=(2;1;0)$