Chủ đề này có 2 trả lời

[Tieuyentu]

Cho a,b,c>0  và a+b+c=3. Chứng minh rằng

$\frac{a^{3}}{b.(2a+c)}+\frac{b^{3}}{c.(2c+b)}+\frac{c^{3}}{a.(2b+c)}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-05-2013 - 22:53

[25 minutes]

Cho a,b,c>0  và a+b+c=3. Chứng minh rằng

$\frac{a^{3}}{b.(2a+c)}+\frac{b^{3}}{c.(2a+b)}+\frac{c^{3}}{a.(2b+c)}\geq 1$

Ta có $\frac{a^3}{b(2a+c)}=\frac{a^4}{2a^2b+abc}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

          $\sum \frac{a^3}{b(2a+c)}=\sum \frac{a^4}{2a^2b+abc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2b+b^2c+c^2a)+3abc}$

Áp dụng AM-GM ta có : $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

Lại có $a+b+c=3\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a \leq a^2+b^2+c^2$

                           $\Rightarrow 2(a^2b+b^2c+c^2a) \leq 2(a^2+b^2+c^2)$

Áp dụng AM-GM ta có $abc \leq \frac{a^2b+b^2c+c^2a}{3} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$

Từ đó ta có ngay 

     $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2b+b^2c+c^2a)+3abc} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$

Lại áp dụng AM-GM ta có $\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \frac{(a+b+c)^2}{9}=1$

Do đó ta có ngya đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

[Juliel]

Cho a,b,c>0  và a+b+c=3. Chứng minh rằng

$\frac{a^{3}}{b.(2a+c)}+\frac{b^{3}}{c.(2a+b)}+\frac{c^{3}}{a.(2b+c)}\geq 1$

Sao các biến không đối xứng gì hết vậy !

Đề có lẽ thế này : P =  $\frac{a^{3}}{b(2a+c)}+\frac{b^{3}}{c(2b+a)}+\frac{c^{3}}{a(2c+b)}\geq 1$

Nếu đề như trên thì có thể áp dụng Cô-si bằng cách chọn đúng điểm rơi :

$\frac{a^{3}}{b(2a+c)}+\frac{2a+c}{9}+\frac{b}{3}\geq a$

Tương tự và cộng lại $P+\frac{2(a+b+c)}{3}\geq a+b+c\Rightarrow P \geq 1$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-05-2013 - 23:18