Chủ đề này có 4 trả lời

[Supermath98]

Cho các số thực x,y thay đổi thõa mãn: $\left\{\begin{matrix} x> 1;y> 1 & & \\ x+y\leq 4& & \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của biểu thức $P= \frac{x^{4}}{\left ( x-1 \right )^{3}}+\frac{y^{4}}{\left ( y-1 \right )^{3}}$

[Juliel]

$\frac{x^{4}}{(x-1)^{3}}+16(x-1)\geq 8.\frac{x^{2}}{(x-1)}$

Tương tự và cộng hai BĐT lại : 

$p + 16(x - 1) + 16(y-1)\geq 8.(\frac{x^{2}}{x-1}+\frac{y^{2}}{y-1})$

Ta xét $A=\frac{x^{2}}{x-1}+\frac{y^{2}}{y-1}$

Đặt x - 1 = a và y - 1 = b, ta có $A=\frac{(a+1)^{2}}{a}+\frac{(b+1)^{2}}{b}=a+2+\frac{1}{a}+b+2+\frac{1}{b}\geq (a+b)+\frac{4}{a+b}+4\geq 2\sqrt{4}+4=8 \Rightarrow A\geq 8$

Do đó $P\geq 8A-16(x+y)+32\geq 8.8-16.4+32=32$

Min P = 32 <=> x = y = 2 

[nthoangcute]

Cách này nhanh hơn nhiều nè:
Bổ đề:
Với $x >1$ thì $\frac{x^4}{(x-1)^3}+16x \geq 48$
Thật vậy BĐT tương đương với $\frac{(17x^2-28x+12)(x-2)^2}{(x-1)^3} \geq 0$
Xong

Cộng lại ta có đpcm

[PTKBLYT9C1213]

Cho các số thực x,y thay đổi thõa mãn: $\left\{\begin{matrix} x> 1;y> 1 & & \\ x+y\leq 4& & \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của biểu thức $P= \frac{x^{4}}{\left ( x-1 \right )^{3}}+\frac{y^{4}}{\left ( y-1 \right )^{3}}$

Có cách khác nè:

P=$\frac{x^{4}}{(x-1)^{3}}+\frac{y^{4}}{(y-1)^{3}}\geq 2\sqrt{\frac{x^{4}y^{4}}{(x-1)^{3}(y-1)^{3}}}$

$\Rightarrow P\geq 2\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{(x-1)^{3}(y-1)^{3}}}=2.\frac{x^{2}}{x-1}.\frac{y^{2}}{y-1}.\frac{1}{\sqrt{(x-1)(y-1)}}$

Ta dễ dàng chứng minh được $\frac{a^{2}}{a-1}\geq 4$

$\Rightarrow P\geq 2.4.4.\frac{1}{\sqrt{(x-1)(y-1)}}\geq 32.\frac{1}{\frac{x-1+y-1}{2}}\geq 32$

Dấu "=" khi x=y=2

[Strygwyr]

Cho các số thực x,y thay đổi thõa mãn: $\left\{\begin{matrix} x> 1;y> 1 & & \\ x+y\leq 4& & \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của biểu thức $P= \frac{x^{4}}{\left ( x-1 \right )^{3}}+\frac{y^{4}}{\left ( y-1 \right )^{3}}$

Sao lại phải làm phức tạp thế nhỉ.

Áp dụng AM-GM : $\frac{x^{4}}{(x-1)^{3}}+16(x-1)+16(x-1)+16(x-1)\geq4\sqrt[4]{16^{3}x^{4}}=32x$

$\Rightarrow \frac{x^{4}}{(x-1)^{3}}\geq 48-16x$

Do đó : $P\geq 96-16(x+y)\geq32$

P/S : Bài này hình như tuyển sinh vào Chuyên Lam Sơn năm 2012-2013 thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 18-05-2013 - 17:21