Chủ đề này có 1 trả lời

[z0zLongBongz0z]

Cho a, b, c là các số dương. CMR

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

[25 minutes]

Cho a, b, c là các số dương. CMR

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

Sử dung các khai triển sau : 

 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right ]= \frac{1}{2}\sum (a-b)^2$

 $(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(a-c)^2+c(a-b)^2= \sum c(a-b)^2$

Do đó bđt đã cho tương đương với 

          $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-1+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-1 \geq 0$

  $\Leftrightarrow \frac{\frac{1}{2}\sum (a-b)^2}{ab+bc+ac}-\frac{\sum c(a-b)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$

  $\Leftrightarrow \frac{\sum (a-b)^2}{2(ab+bc+ac)}-\frac{\sum c(a-b)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$

  $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2 \left [ \frac{1}{2(ab+bc+ac)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)} \right ]\geq 0$

Ta lại có $\frac{1}{2(ab+bc+ac)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)} >0$, chứng minh đơn giản

Do đó $ \sum (a-b)^2 \left [ \frac{1}{2(ab+bc+ac)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)} \right ] \geq 0$

Vậy ta có đpcm

Dấu =xảy ra khi $a=b=c>0$