Chủ đề này có 10 trả lời

[NGUYEN MINH HIEU TKVN]

Bài 1: Giả sử $x,y$ là các số nguyên dương thoả mãn A =$\frac{x^{2}+y^{2}+6}{xy}$   là một số nguyên. Chứng minh rằng A = 8

 

 

[Juliel]

Bài 1: Giả sử $x,y$ là các số nguyên dương thoả mãn A =$\frac{x^{2}+y^{2}+6}{xy}$   là một số nguyên. Chứng minh rằng A = 8

Bài toán phụ : Chứng minh rằng với x,y > 0 mà $A=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ không là số vô tỉ thì A = 2

Đặt $\frac{x}{y}=t>0$ thì $t+\frac{1}{t}=A\Rightarrow t^{2}-At+1=0$

Phương trình có nghiệm hữu tỉ khi $\Delta$ là số chính phương $\Rightarrow \Delta =k^{2}\Rightarrow A^{2}-4=k^{2}\Rightarrow (A-k)(A+k)=4\Rightarrow A\in \left \{ 2;-2 \right \}$ nhưng vì A > 0 nên A = 2

Áp dụng vào bài toán, ta thấy $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ không là số vô tỉ $\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2$

$\Rightarrow x=y$ mà khi $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\in Z\Rightarrow \Rightarrow \frac{6}{xy}\in Z\Rightarrow x=y=1$

Khi đó A = 8 (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 19-05-2013 - 18:40

[Ha Manh Huu]

Ta sẽ chứng minh tổng hai nghịch đảo chỉ nhận giá trị nguyên dương duy nhất là 2

Thật vậy, xét $t+\frac{1}{t}=k\Rightarrow t^{2}-kt+1=0$

Phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta$ là số chính phương $\Rightarrow k^{2}-4=r^{2}\Rightarrow (k-r)(k+r)=4\Rightarrow k\in \left \{ 2;-2 \right \}$ nhưng vì k nguyên dương nên  k = 2

Áp dụng vào bài toán, ta có $A=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{6}{xy}$

Để A nguyên dương thì trước hết $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ nguyên 

=> $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\Rightarrow x=y$

Mà A nguyên thì 6 chia hết cho xy $\Rightarrow 6\vdots x^{2}\Rightarrow x=y=1$

Khi đó A = 8 (đpcm)

nhỡ đâu $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ ko nguyên$\frac{6}{xy}$ ko nguyên cộng lại nguyên thì sao

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 19-05-2013 - 13:34

[Juliel]

nhỡ đâu $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ ko nguyên$\frac{6}{xy}$ ko nguyên cộng lại nguyên thì sao

Vậy thì chỉ cần chứng minh $\left \{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right \}+\left \{ \frac{6}{xy} \right \}\neq 1$

Cái này thì mình cũng chịu !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 19-05-2013 - 16:36

[Ha Manh Huu]

Vậy thì chỉ cần chứng minh $\left \{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right \}+\left \{ \frac{6}{xy} \right \}\neq 1$

Cái này thì mình cũng chịu !

cả vấn đề

[Juliel]

cả vấn đề

mình fix lại rồi bạn ơi ! Nếu $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ là số hữu tỉ thì nó chỉ có thể nguyên mà thôi, không thể nào không nguyên được ! 

[Ha Manh Huu]

mình fix lại rồi bạn ơi ! Nếu $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ là số hữu tỉ thì nó chỉ có thể nguyên mà thôi, không thể nào không nguyên được ! 

giwof thì đúng rồi

[hoangvtvpvn]

bài này có thể giải bằng vi-ét

[trananh2771998]

bài này có thể giải bằng vi-ét

bạn có thể giải tường minh hộ mình không

[quanghao98]

bài giải này của bạn chắc có vấn đề rồi tổng 2 số nghịch đảo không là số vô tỷ cũng có thể là số hữu tỷ được mà

[Juliel]

bài giải này của bạn chắc có vấn đề rồi tổng 2 số nghịch đảo không là số vô tỷ cũng có thể là số hữu tỷ được mà

Cách giải y hệt bài này. Bạn tham khảo !