Đến nội dung

Hình ảnh

$A=a^{4}-6a^{2}b^{2}+b^{4}$ là số nguyên dương

* * * * - 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Tìm các số thực $a$,$b$ thoả mãn $a+b=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$ và $A=a^{4}-6a^{2}b^{2}+b^{4}$ là số nguyên dương


"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#2
Van Le

Van Le

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
A=\left ( a^{2} +b^{2}\right )-8a^{2}.b^{2}\\=\left \lfloor \left ( a+b \right )^{2}-2ab  \right \rfloor^{2}-8a^{2}.b^{2}\\=\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} -2ab\right )^{2}-8a^{2}.b^{2}\\=\frac{1}{2}-2\sqrt{2}ab-4a^{2}.b^{2}\\=-(4a^{2}.b^{2}+2.2ab.\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{2}\\=1-(2ab+\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}\leqslant 1\\
Vì A nguyên dương mà  A\leqslant 1 \Rightarrow A=1 \Rightarrow ab=\frac{-1}{2\sqrt{2}} \\
Ta có hpt \\\left\{\begin{matrix}
a+b=\sqrt[4]{8} & \\ 
 ab=\frac{-1}{2\sqrt{2}}& 
\end{matrix}\right.

“Tôi hạ gục đối thủ của mình bằng cách kết bạn với họ”. – Abraham Lincoln. 

 


#3
Van Le

Van Le

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

$A=(a^{2}+b^{2})-8a^{2}b^{2}\\=\left [ \left ( a+b \right )^{2} -2ab\right ]-8a^{2}b^{2}\\=(\frac{\sqrt{2}}{2}-2ab)^{2}-8a^{2}b^{2}\\=1-(2ab+\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}\leqslant 1\\ Vì A nguyên dương và A\leqslant 1 \Rightarrow A=1\Leftrightarrow ab=\frac{-1}{2\sqrt{2}}\\  Ta có hpt \left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt[4]{8}:2 & \\ ab=-1: (2\sqrt{2}) & \end{matrix}\right.$


“Tôi hạ gục đối thủ của mình bằng cách kết bạn với họ”. – Abraham Lincoln. 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh