Chủ đề này có 13 trả lời

[lequanghung98]

Bài I:

 

1) Chứng minh $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}> 1$

 

2) Chứng minh $(4^{n}+15n-1)\vdots 9$ với $n\in N$

 

 

Bài II:

 

1) Giải hệ 

 

$(x+\sqrt{y^{2}+1})(y+\sqrt{x^{2}+1})=1$

 

$x^{2}+y^{2}=8$

 

2) Tìm nghiệm nguyên không âm x, y của phuơng trình $3^{x}-y^{3}=1$

 

 

Bài III: Cho đường tròn tâm $O$ và đường thẳng $d$ không cắt đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ lên $d$. qua $I$ kẻ 2 cát tuyến $IDA$ và $ICB$ với đường tròn $(O)$. Đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt $d$ tại $M$ và $N$. Gọi $H$, $K$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$ và $AC$.

 

1) Chứng minh rằng $ID.IK=IC.IH$

 

2) Chứng minh $IM=IN$

 

 

Bài IV:

 

Cho đa thức $P(x)$ có hệ số là các số nguyên, $a$ là hệ số tự do. Tìm $a$ biết $\left | a \right |< 100$ và $P(19)=P(5)=2013$.

 

 

Bài V:

 

Trên mặt phẳng cho $4025$ điểm sao cho với ba điểm bất kì trong số đo luôn tồn tại $2$ điểm mà khoảng cách giữa $2$ điểm đó nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính bằng $1$ chứa không ít hơn $2013$ điểm trong số các điểm đã cho.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lequanghung98: 19-05-2013 - 18:52

[trananh2771998]

Bài V

Gọi hình tròn tâm E là hình tròn có bán kính nhỏ hơn 1

Và gọi thêm một hình tâm F nữa

Xét một điểm bất kì nào đó ngoài 2 đg tròn trên

Từ giả thiết suy ra đpcm

[Juliel]

 

Bài I:

 

1) Chứng minh $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}> 1$

 

2) Chứng minh $(4^{n}+15n-1)\vdots 9$ với $n\in N$

 

 

 

1) $\frac{1}{(a+1)\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a(a+1)}=\sqrt{a}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1})=\sqrt{a}.(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}})=(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})(1+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}})> (\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})$

Do đó $VP>\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}>1$

 

2) Gọi A(x) là giá trị của biểu thức tại x

Ta có A(0) = 0 chia hết cho 9, A(1) = 18 chia hết cho 9

Gỉa sử A(k) chia hết cho k, cần chứng minh A(k+1) chia hết cho k + 1

Thật vậy,$A(k+1)=4^{k+1}+15(k+1)-1=4(4^{k}+15k-1)-45k+18=4A(k)-45k+18\vdots 9$

Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 20-05-2013 - 11:07

[Ha Manh Huu]

bài cuối tham khảo tại http://diendantoanho...-2013/?p=418970

[lequanghung98]

1) $\frac{1}{(a+1)\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a(a+1)}=\sqrt{a}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1})=\sqrt{a}.(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}})=(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})(1+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}})> (\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}})$

Do đó $VP > \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}=1-\frac{1}{\sqrt{2013}}>1$

 

$1-\frac{1}{\sqrt{2013}} \approx 0.97 < 1$ mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lequanghung98: 19-05-2013 - 20:29

[BlackSelena]

Trường chi mô mà lạ thế nhỷ, đề k0 sáng tạ0 ch0 lắm thì phải o_O

Câu hpt: http://diendantoanho...qrt1x2-right-1/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 19-05-2013 - 21:02

[Ha Manh Huu]

 

Bài I:

 

1) Chứng minh $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}> 1$

 

2) Chứng minh $(4^{n}+15n-1)\vdots 9$ với $n\in N$

 

 

Bài II:

 

1) Giải hệ 

 

$(x+\sqrt{y^{2}+1})(y+\sqrt{x^{2}+1})=1$

 

$x^{2}+y^{2}=8$

 

2) Tìm nghiệm nguyên không âm x, y của phuơng trình $3^{x}-y^{3}=1$

 

 

Bài III: Cho đường tròn tâm $O$ và đường thẳng $d$ không cắt đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ lên $d$. qua $I$ kẻ 2 cát tuyến $IDA$ và $ICB$ với đường tròn $(O)$. Đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt $d$ tại $M$ và $N$. Gọi $H$, $K$ là hình chiếu của $O$ lên $BD$ và $AC$.

 

1) Chứng minh rằng $ID.IK=IC.IH$

 

2) Chứng minh $IM=IN$

 

 

Bài IV:

 

Cho đa thức $P(x)$ có hệ số là các số nguyên, $a$ là hệ số tự do. Tìm $a$ biết $\left | a \right |< 100$ và $P(19)=P(5)=2013$.

 

 

Bài V:

 

Trên mặt phẳng cho $4025$ điểm sao cho với ba điểm bất kì trong số đo luôn tồn tại $2$ điểm mà khoảng cách giữa $2$ điểm đó nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính bằng $1$ chứa không ít hơn $2013$ điểm trong số các điểm đã cho.

 

bài nghiệm nguyên
ta có $3^{x}=(y+1)(y^{2}-y+1)$ nên $y+1=3^{m} ;y^{2}-y+1= 3^{n}$

suy ra $y=3^{m}-1 ; y(y-1)=3^{n}-1$

suy ra $(3^{m}-1)(3^{m}-2)=3^{n}-1$suy ra $3=3^{n} +3^{m+1} -3^{2m}$ (*)

ta thấy với $n=0$ thì $2=3^{m+1} -3^{2m} $ suy ra $3^{m+1} > 3^{2m}$ suy ra $m+1>2m$ suy ra $m=0$

với n>0 ta có m>0
chia cả 2 vế của (*) cho 3 thì 1= $3^{n-1} + 3^{m} - 3^{2m-1}$ nế trong 3 số $ 3^{n-1};3^{m};3^{2m-1}$ tồn tại 1 số =1 vì nếu cả 3 số ko có số nào =1 thì tổng 3 số chia hết cho 3 àm 1 ko chia hết cho 3 vô lí
từ đây dễ dàng giải tiếp bài toán

[LNH]

Bài IV: Vì $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên nên $P\left( 19 \right)-a\vdots 19$ và $P\left( 5 \right)-a\vdots 5$

$\Rightarrow 2013-a\vdots 19$ và $ 2013-a\vdots 5$

Đến đây thì dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 19-05-2013 - 21:01

[LNH]

Bài hệ thì ta chứng minh $x=-y$ rồi thay vào PT thứ 2

[andymurray44]

Giải lại bài 1a).Theo bạn Juliel đã chứng minh được:

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}> \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \Rightarrow A> \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}> 1$

Bạn Juliel làm gần đúng rồi,chỉ cần bớt lại số đầu tiên thì bài toán sẽ dễ chứng minh hơn.

[andymurray44]

Bài IV:

$P(5)=2013\Rightarrow P(5)\equiv a(mod 5)\Rightarrow a\equiv 3 (mod 5)$

$P(19)=2013\Rightarrow P(19)\equiv a (mod19)\Rightarrow a\equiv 18(mod19)$

Đến đây trở về bài toán cơ bản xét số dư của a cho 95 rồi dựa và khoảng của a để tìm a.Đ/S:a=-77

[etucgnaohtn]

Trường chi mô mà lạ thế nhỷ, đề k0 sáng tạ0 ch0 lắm thì phải o_O

Câu hpt: http://diendantoanho...qrt1x2-right-1/

đề quá nhọ . Toàn đi chép sách ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 20-05-2013 - 14:38

[Juliel]

$1-\frac{1}{\sqrt{2013}} \approx 0.97 < 1$ mà

 

 

Giải lại bài 1a).Theo bạn Juliel đã chứng minh được:

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}> \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \Rightarrow A> \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}> 1$

Bạn Juliel làm gần đúng rồi,chỉ cần bớt lại số đầu tiên thì bài toán sẽ dễ chứng minh hơn.

Cám ơn hai bạn đã giúp mình sửa lỗi nhé, mình đã kịp fix lại ! ^^

Mình ngớ ngẩn thật, $1-\frac{1}{\sqrt{2013}}>1$ mà cũng viết ra được 

[Juliel]

Làm nốt bài hình này !

a)

$\Delta ACI\sim \Delta BDI\Rightarrow AC.DI=BD.CI\Rightarrow \frac{AC}{2}.DI=\frac{BD}{2}.CI\Rightarrow CK.DI=HD.CI \Rightarrow \frac{CK}{HD}=\frac{CI}{DI}$  (1)

Ta có $\left\{\begin{matrix} & \widehat{KCI}+\widehat{ACB}=2v & \\ & \widehat{HDI}+\widehat{ADB}=2v & \end{matrix}\right.$

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$ $\Rightarrow \widehat{HDI}=\widehat{KCI}$ (2)

Từ (1)(2) $\Rightarrow \Delta KCI\sim \Delta HDI\Rightarrow ID.IK=IC.IH$

b) $\Rightarrow \Delta KCI\sim \Delta HDI \Rightarrow \widehat{DHI}=\widehat{CKI}$

Mà dễ thấy các tứ giác OKIM và OHIN nội tiếp 

=> $\left\{\begin{matrix} & \widehat{DHI}=\widehat{NOI} & \\ & \widehat{CKI}=\widehat{MOI} & \end{matrix}\right.$

=> $\widehat{NOI}=\widehat{MOI}$

Tam giác OMN có OI là phân giác cũng là đường cao => IM = IN 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 20-05-2013 - 12:24