Chủ đề này có 3 trả lời

[caovannct]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.

chứng minh rằng $\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

[25 minutes]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.

chứng minh rằng $\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

Áp dụng AM-GM ta có $a^2+2b+3=(a^2+1)+2b+2 \geq 2(a+b+1)$

             $\Rightarrow \frac{a}{a^2+2b+3} \leq \frac{a}{2(a+b+1)}$

Tương tự 2 bđt còn lại ta có $\sum \frac{a}{a^2+2b+3} \leq\sum \frac{a}{2(a+b+1)}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{a}{2(a+b+1)}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+b+1} \leq 1$

            $\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1} \geq 2$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

  $\sum \frac{b+1}{a+b+1} =\sum \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)} \geq \frac{(\sum a+3)^2}{\sum a^2+3+ \sum ab+3 \sum a}=\frac{(\sum a+3)^2}{\sum ab+3 \sum a+6}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{(\sum a+3)^2}{\sum ab+3 \sum a+6} \geq 2$

                                $\Leftrightarrow \sum a^2+2 \sum ab+6 \sum a+9 \geq 2(6+3 \sum a+\sum ab)$

Nhưng bđt trên thực ta là 1 đẳng thức với $a^2+b^2+c^2=3$

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 21-05-2013 - 19:13

[Ha Manh Huu]

Áp dụng AM-GM ta có $a^2+2b+3=(a^2+1)+2b+2 \geq 2(a+b+c)$

             $\Rightarrow \frac{a}{a^2+2b+3} \leq \frac{a}{2(a+b+1)}$

Tương tự 2 bđt còn lại ta có $\sum \frac{a}{a^2+2b+3} \leq\sum \frac{a}{2(a+b+1)}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{a}{2(a+b+1)}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+b+1} \leq 1$

            $\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1} \geq 2$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

  $\sum \frac{b+1}{a+b+1} =\sum \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)} \geq \frac{(\sum a+3)^2}{\sum a^2+3+ \sum ab+3 \sum a}=\frac{(\sum a+3)^2}{\sum ab+3 \sum a+6}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{(\sum a+3)^2}{\sum ab+3 \sum a+6} \geq 2$

                                $\Leftrightarrow \sum a^2+2 \sum ab+6 \sum a+9 \geq 2(6+3 \sum a+\sum ab)$

Nhưng bđt trên thực ta là 1 đẳng thức với $a^2+b^2+c^2=3$

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

chỗ mầu đỏ bạn viết nhầm thì phải

[trananh2771998]

Áp dụng AM-GM ta có $a^2+2b+3=(a^2+1)+2b+2 \geq 2(a+b+c)$

             $\Rightarrow \frac{a}{a^2+2b+3} \leq \frac{a}{2(a+b+1)}$

Tương tự 2 bđt còn lại ta có $\sum \frac{a}{a^2+2b+3} \leq\sum \frac{a}{2(a+b+1)}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{a}{2(a+b+1)}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+b+1} \leq 1$

            $\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1} \geq 2$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

  $\sum \frac{b+1}{a+b+1} =\sum \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)} \geq \frac{(\sum a+3)^2}{\sum a^2+3+ \sum ab+3 \sum a}=\frac{(\sum a+3)^2}{\sum ab+3 \sum a+6}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{(\sum a+3)^2}{\sum ab+3 \sum a+6} \geq 2$

                                $\Leftrightarrow \sum a^2+2 \sum ab+6 \sum a+9 \geq 2(6+3 \sum a+\sum ab)$

Nhưng bđt trên thực ta là 1 đẳng thức với $a^2+b^2+c^2=3$

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Em nghĩ là  $2\left ( a\dotplus b\dotplus 1 \right )$