Chủ đề này có 1 trả lời

[trauvang97]

Cho $x,y,z$ là các số thực thoả mãn $x,y,z>1$ và $x+y+z=xyz$. Tìm GTNN của biểu thức:

                            

                       $P=\frac{x-1}{y^{2}}+\frac{y-1}{z^{2}}+\frac{z-1}{x^{2}}$

[.::skyscape::.]

Cho $x,y,z$ là các số thực thoả mãn $x,y,z>1$ và $x+y+z=xyz$. Tìm GTNN của biểu thức:

                            

                       $P=\frac{x-1}{y^{2}}+\frac{y-1}{z^{2}}+\frac{z-1}{x^{2}}$

 

$\sum \frac{x-1+y-1}{y^{2}}-\sum \frac{1}{y}+\sum \frac{1}{y^{2}}$

$\Leftrightarrow \sum (x-1)(\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}})-\sum \frac{1}{y}+\sum \frac{1}{y^{2}}$

$\geq \sum (x-1)\frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{y}+\sum \frac{1}{y^{2}}$

 

$=\sum \frac{2}{x}-\sum \frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{y}+\sum \frac{1}{y^{2}}$

$=\sum \frac{1}{y}+\sum \frac{1}{y^{2}}-\sum \frac{2}{xy}$

$Ta có \frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}=1$

Mặt khác\sum $\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}=1$

$\rightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq 3\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}$

từ đó thế$ \frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}=1$

 ta có giá trị nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi .::skyscape::.: 20-05-2013 - 17:42