Chủ đề này có 3 trả lời

[phatthemkem]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh

$$\frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{1}{a^2+7}+\frac{1}{b^2+7}+\frac{1}{c^2+7}$$

[trananh2771998]

 ta có $\sum \frac{4}{a^{2}\dotplus 7}\leq \sum \frac{2}{a\dotplus 3}$

[arsenal20101998]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh

$$\frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{1}{a^2+7}+\frac{1}{b^2+7}+\frac{1}{c^2+7}$$

Ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c}$

Mà $a^2+1\geq 2a$ ; $2(b^2+1)\geq4b$ ; $c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+2b^2+c^2+4\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow b^2+7\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{8}{b^2+7}$

Chứng minh tương tự rồi cộng các BDT lại ta có dpcm

[Trang Luong]

Ta có:

$\frac{1}{a^{2}+7}=\frac{1}{a^{2}+4+a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2b+2c+4a}=\frac{1}{2}.\frac{1}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{1}{8}\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \right )$

CMTT :