Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 20-05-2013 - 19:44

Tìm hàm số $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})$

Với $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 20-05-2013 - 19:49

Link

 


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 20-05-2013 - 20:39

Tìm hàm số $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})$

Với $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$

Xét 2 trường hợp:

Với $\alpha \neq \beta$ ta có:

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})=x^{\alpha}f(\frac{y}{2})+y^{\beta}f(\frac{x}{2})$

$\Leftrightarrow \dfrac{f(\frac{x}{2})}{x^{\alpha }-x^{\beta }}=\dfrac{f(\frac{y}{2})}{y^{\alpha }-y^{\beta }}\Rightarrow f(\frac{x}{2})=c\cdot (x^{\alpha }-x^{\beta })$

Khi cho $x=y=1$ tìm được $c=0$ nên $f(x)=0$ ( thỏa )

Với $\alpha = \beta$ ta có: $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})$

Cho $x=y$ có $(f(x))^2=2x^{\alpha}f(\frac{x}{2})$ $(*)$

Ta sẽ có : $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})\Leftrightarrow  2x^{\alpha}y^{\alpha}f(x)f(y)=y^{2\alpha}(f(x))^2+x^{2\alpha}(f(y))^2$

$\Leftrightarrow (y^{\alpha}f(x)-x^{\alpha}f(y))^2=0\Rightarrow f(x)=k\cdot x^{\alpha}$

Thay vào $(*)$ tìm được $k=2^{1-\alpha}$ và $k=0$

Vậy với $\alpha \neq \beta$ thì $f(x)=0$ thỏa. Với $\alpha = \beta$ thì $f(x)=0$ và $f(x)=2^{1-\alpha}\cdot x^{\alpha}$ thỏa :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 21-05-2013 - 11:15

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 phatsp

phatsp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 28-09-2013 - 21:26

Xét 2 trường hợp:

Với $\alpha \neq \beta$ ta có:

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})=x^{\alpha}f(\frac{y}{2})+y^{\beta}f(\frac{x}{2})$

$\Leftrightarrow \dfrac{f(\frac{x}{2})}{x^{\alpha }-x^{\beta }}=\dfrac{f(\frac{y}{2})}{y^{\alpha }-y^{\beta }}\Rightarrow f(\frac{x}{2})=c\cdot (x^{\alpha }-x^{\beta })$

Khi cho $x=y=1$ tìm được $c=0$ nên $f(x)=0$ ( thỏa )

Với $\alpha = \beta$ ta có: $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})$

Cho $x=y$ có $(f(x))^2=2x^{\alpha}f(\frac{x}{2})$ $(*)$

Ta sẽ có : $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})\Leftrightarrow  2x^{\alpha}y^{\alpha}f(x)f(y)=y^{2\alpha}(f(x))^2+x^{2\alpha}(f(y))^2$

$\Leftrightarrow (y^{\alpha}f(x)-x^{\alpha}f(y))^2=0\Rightarrow f(x)=k\cdot x^{\alpha}$

Thay vào $(*)$ tìm được $k=2^{1-\alpha}$ và $k=0$

Vậy với $\alpha \neq \beta$ thì $f(x)=0$ thỏa. Với $\alpha = \beta$ thì $f(x)=0$ và $f(x)=2^{1-\alpha}\cdot x^{\alpha}$ thỏa :)

cho mình hỏi nếu x=y=1 thi mẫu số =0 rồi mà,mình còn yếu mong giúp dùm  :(



#4 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 28-09-2013 - 21:49

cho mình hỏi nếu x=y=1 thi mẫu số =0 rồi mà,mình còn yếu mong giúp dùm  :(

Thường thì mình không hay xét điều kiện ở mẫu nên sai bước này :))

Bạn cho nó có điều kiện là $x,y\neq 1$

Khi $f(\frac{x}{2})=c\cdot (x^{\alpha}-x^{\beta})\Rightarrow f(x)=c\cdot ((2x)^{\alpha}-(2x)^{\beta})$

Thay cái này vào phương trình ban đầu thì tìm được $c=0$ :)

Ps: Thay vào mà có hàm thỏa ngoài $f(x)=0$ thì @@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 28-09-2013 - 22:16

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh