Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết

Tìm hàm số $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})$

Với $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 20-05-2013 - 19:49

Link

 


#2
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Tìm hàm số $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})$

Với $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$

Xét 2 trường hợp:

Với $\alpha \neq \beta$ ta có:

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})=x^{\alpha}f(\frac{y}{2})+y^{\beta}f(\frac{x}{2})$

$\Leftrightarrow \dfrac{f(\frac{x}{2})}{x^{\alpha }-x^{\beta }}=\dfrac{f(\frac{y}{2})}{y^{\alpha }-y^{\beta }}\Rightarrow f(\frac{x}{2})=c\cdot (x^{\alpha }-x^{\beta })$

Khi cho $x=y=1$ tìm được $c=0$ nên $f(x)=0$ ( thỏa )

Với $\alpha = \beta$ ta có: $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})$

Cho $x=y$ có $(f(x))^2=2x^{\alpha}f(\frac{x}{2})$ $(*)$

Ta sẽ có : $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})\Leftrightarrow  2x^{\alpha}y^{\alpha}f(x)f(y)=y^{2\alpha}(f(x))^2+x^{2\alpha}(f(y))^2$

$\Leftrightarrow (y^{\alpha}f(x)-x^{\alpha}f(y))^2=0\Rightarrow f(x)=k\cdot x^{\alpha}$

Thay vào $(*)$ tìm được $k=2^{1-\alpha}$ và $k=0$

Vậy với $\alpha \neq \beta$ thì $f(x)=0$ thỏa. Với $\alpha = \beta$ thì $f(x)=0$ và $f(x)=2^{1-\alpha}\cdot x^{\alpha}$ thỏa :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 21-05-2013 - 11:15

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3
phatsp

phatsp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Xét 2 trường hợp:

Với $\alpha \neq \beta$ ta có:

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})=x^{\alpha}f(\frac{y}{2})+y^{\beta}f(\frac{x}{2})$

$\Leftrightarrow \dfrac{f(\frac{x}{2})}{x^{\alpha }-x^{\beta }}=\dfrac{f(\frac{y}{2})}{y^{\alpha }-y^{\beta }}\Rightarrow f(\frac{x}{2})=c\cdot (x^{\alpha }-x^{\beta })$

Khi cho $x=y=1$ tìm được $c=0$ nên $f(x)=0$ ( thỏa )

Với $\alpha = \beta$ ta có: $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})$

Cho $x=y$ có $(f(x))^2=2x^{\alpha}f(\frac{x}{2})$ $(*)$

Ta sẽ có : $f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\alpha}f(\frac{y}{2})\Leftrightarrow  2x^{\alpha}y^{\alpha}f(x)f(y)=y^{2\alpha}(f(x))^2+x^{2\alpha}(f(y))^2$

$\Leftrightarrow (y^{\alpha}f(x)-x^{\alpha}f(y))^2=0\Rightarrow f(x)=k\cdot x^{\alpha}$

Thay vào $(*)$ tìm được $k=2^{1-\alpha}$ và $k=0$

Vậy với $\alpha \neq \beta$ thì $f(x)=0$ thỏa. Với $\alpha = \beta$ thì $f(x)=0$ và $f(x)=2^{1-\alpha}\cdot x^{\alpha}$ thỏa :)

cho mình hỏi nếu x=y=1 thi mẫu số =0 rồi mà,mình còn yếu mong giúp dùm  :(



#4
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

cho mình hỏi nếu x=y=1 thi mẫu số =0 rồi mà,mình còn yếu mong giúp dùm  :(

Thường thì mình không hay xét điều kiện ở mẫu nên sai bước này :))

Bạn cho nó có điều kiện là $x,y\neq 1$

Khi $f(\frac{x}{2})=c\cdot (x^{\alpha}-x^{\beta})\Rightarrow f(x)=c\cdot ((2x)^{\alpha}-(2x)^{\beta})$

Thay cái này vào phương trình ban đầu thì tìm được $c=0$ :)

Ps: Thay vào mà có hàm thỏa ngoài $f(x)=0$ thì @@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 28-09-2013 - 22:16

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh