Cho các số thực dương $ a_1, a_2, a_3,.....a_n \ge 0 $ thỏa mãn $ a^3_1+a^3_2+a^3_3+....+a^3_n=n $ Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây luôn đúng:
$ \sqrt{a_1+1}+\sqrt{a_2+1}+.....+\sqrt{a_n+1} \ge n-1+\sqrt{(\sqrt[3]{n}+1}) $
Cho các số thực dương $ a_1, a_2, a_3,.....a_n \ge 0 $ thỏa mãn $ a^3_1+a^3_2+a^3_3+....+a^3_n=n $ Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây luôn đúng:
$ \sqrt{a_1+1}+\sqrt{a_2+1}+.....+\sqrt{a_n+1} \ge n-1+\sqrt{(\sqrt[3]{n}+1}) $
Cho các số thực dương $ a_1, a_2, a_3,.....a_n \ge 0 $ thỏa mãn $ a^3_1+a^3_2+a^3_3+....+a^3_n=n $ Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây luôn đúng:
$ \sqrt{a_1+1}+\sqrt{a_2+1}+.....+\sqrt{a_n+1} \ge n-1+\sqrt{(\sqrt[3]{n}+1}) $
Bổ đề:
Với mọi $x$ thỏa mãn $0 \leq x \leq \sqrt[3]{n}$ thì:
$$f(x)=\sqrt{x+1}-\frac{\sqrt{\sqrt[3]{n}+1}-1}{n}x^3-1 \geq 0$$
Chứng minh:
$$f''(x)=-\frac{1}{4\sqrt[3]{(x+1)^2}}-\frac{6x}{\sqrt[3]{n^2}(\sqrt{\sqrt[3]{n}+1}+1)}<0$$
Suy ra $f(x) \geq 0$
Từ đó suy ra đpcm ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 21-05-2013 - 19:28
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh