Chủ đề này có 2 trả lời

[PTKBLYT9C1213]

Trong các tứ giác có ba cạnh bằng a cho trước, tìm tứ giác có diện tích lớn nhất

[Ha Manh Huu]

đề thi KHTN năm 2007 hay sao bạn à

[Hung Ton]

Trong các tứ giác có ba cạnh bằng a cho trước, tìm tứ giác có diện tích lớn nhất

Có tứ giác lồi ABCD (0<AB=BC=CD=a). Nên tam giác ABC cân ở B

Hạ BH vuông góc với AC. (0<BH=b<a)

Theo Pythagore thì $AH=HC=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

$S(ABC)=AH.BH=b\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

S(ACD)$\leq \frac{AC.CD}{2}$

$=a\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

(Dấu bằng xảy ra khi góc ACD=1v)

Có 

S(ABCD)=S(ABC)+S(ACD)

$\leq b\sqrt{a^{2}-b^{2}}+a\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

=$\sqrt{a^{2}-b^{2}}(a+b)$

=$\sqrt{(a+b)^{2}(a^{2}-b^{2})}$

=$\sqrt{(a+b)^{3}(a-b)}$

=$\sqrt{\frac{(a+b)^{3}(3a-3b)}{3}}$

=$\sqrt{\frac{(a+b)(a+b)(a+b)(3a-3b)}{3}}$

$\leq \sqrt{\frac{1}{3}\left ( \frac{3a}{4} \right )^{4}}$

=$\frac{3\sqrt{3}}{16}a^{2}$

Với bất đẳng thức AM-GM 4 số

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

a+b=3a-3b

gócACD=1v

hay b=a/2

<=>góc ABH=60<=> góc ABC=120

góc ACD=1v<=>góc BCD =120

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hung Ton: 23-05-2013 - 14:17