Cho a, b, c là ba số dương có tổng bằng 3. Tìm Min A
A = $\frac{a+1}{b^{2}+1}+ \frac{b+1}{c^{2}+1}+ \frac{c+1}{a^{2}+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 22-05-2013 - 14:53
$\frac{a+1}{b^{2}+1}+ \frac{b+1}{c^{2}+1}+ \frac{c+1}{a^{2}+1}$
Bắt đầu bởi Vu Thuy Linh, 22-05-2013 - 14:09
#2
Đã gửi 22-05-2013 - 14:50
banhgaongonngon
-
- Thành viên
-
- 1046 Bài viết
Thượng úy
Cho a, b, c là ba số dương có tổng bằng 3. Tìm Min A
A = $\frac{a+1}{b^{2}+1}+ \frac{b+1}{c^{2}+1}+ \frac{c+1}{a^{2}+1}$
$\frac{a+1}{b^{2}+1}=a+1-\frac{ab^{2}+b^{2}}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{ab+b}{2}$
Lập 2 bất đẳng thức tương tự ta được
$\frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}+3\geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 22-05-2013 - 14:52
- DarkBlood và Vu Thuy Linh thích
#3
Đã gửi 22-05-2013 - 14:51
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho a, b, c là ba số dương có tổng bằng 3. Tìm Min A
A = $\frac{a+1}{b^{2}+1}+ \frac{b+1}{c^{2}+1}+ \frac{c+1}{a^{2}+1}$
Lời giải. Áp dụng AM-GM ngược dấu, ta có $\dfrac{a+1}{b^2+1}= a+1- \dfrac{b^2(a+1)}{b^2+1}$.
Vì $b^2+1 \ge 2b$ nên $a+1- \dfrac{b^2(a+1)}{b^2+1} \ge a+1- \dfrac{ab+b}{2}$.
Tương tự thì $\dfrac{b+1}{c^2+1} \ge b+1- \dfrac{bc+c}{2}, \; \dfrac{c+1}{a^2+1} \ge c+1- \dfrac{ac+a}{2}$.
Cộng ba BĐT trên vế theo vế và áp dụng BĐT $ab+bc+ca \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}= 3$ ta có $$\begin{aligned} A & \ge a+b+c+3- \dfrac{(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{2} \\ & \ge 3 \end{aligned}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 22-05-2013 - 14:51
- Vu Thuy Linh yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
