Chủ đề này có 4 trả lời

[N H Tu prince]

Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt  

                                    ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014

                                            Thời gian:150 phút

 

Bài 1(2đ): Giải phương trình

$$3x^2+3x+3=(3x+1)\sqrt{x^2+3}$$

 

Bài 2(3đ): Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh:

$$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le \frac{3}{4}$$

 

Bài 3(4đ): Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $( C )$ tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $K,L,M$ lần lượt là trung điểm của cung $BC,CA,AB$ (theo thứ tụ không chứa đỉnh $A,B,C$) của đường tròn $( C )$.Đặt $P(AMBKCL)$ là chu vi lục giác $AMBKCL$. Chứng minh rằng:

$$P(AMBKCL)\ge 4(R+r)$$

Trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

 

Bài 4(3đ): Chứng minh rằng:

    $1.2^{3^n}\equiv -1(mod 3^{n+1}),n=1,2,3...$

    $2.$ Có vô số số tự nhiên a thoả mãn  $a| (2^a+1)$

 

Bài 5(4đ): Cho đường tròn $( C )$ tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $P$ cố định. Gọi $A,B$ là hai điểm thuộc $( C )$ và đối xứng nhau qua $O$. Chứng minh rằng khi $A,B$ thay đổi trên $( C )$ thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ đi qua một điểm cố định khác $P$.

 

Bài 6(4đ): Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$$f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy,\forall x,y \in \mathbb{R}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 22-05-2013 - 17:37

[Zaraki]

Bài 2(3đ): Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh:

$$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le \frac{3}{4}$$

Lời giải. Đặt $a= \frac xy,b= \frac yz, c= \frac zx$. Khi đó ta cần chứng minh $$\sum \dfrac{yz}{xz+xy+2yz} \le \dfrac 34$$.

Thật vậy thì ta có $$\dfrac{yz}{z(x+y)+y(z+x)} \le \dfrac{z}{4(x+z)}+ \dfrac{y}{4(x+y)}$$

Tương tự thì $\dfrac{xy}{2xy+yz+zx} \le \dfrac{y}{4(y+z)}+ \dfrac{x}{4(x+z)}, \; \dfrac{zx}{2zx+xy+yz} \le \dfrac{z}{4(z+y)}+ \dfrac{x}{4(x+y)}$.

Cộng ba BĐT trên ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 22-05-2013 - 18:34

[Zaraki]

Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt  

                                    ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014

                                            Thời gian:150 phút

 

Bài 1(2đ): Giải phương trình

$$3x^2+3x+3=(3x+1)\sqrt{x^2+3}$$

Lời giải. Đặt $\sqrt{x^2+3}=a, 3x=b$. Khi đó thì ta có $a^2+b=a(b+1) \Leftrightarrow (a-b)(a-1)=0$.

Đến đây xét nếu $\sqrt{x^2+3}=1$ thì mâu thuẫn, nên $\sqrt{x^2+3}=3x$.

Ta tìm được $x= \pm \dfrac{ \sqrt 3}{ 2 \sqrt 2}$

[duaconcuachua98]

Lời giải. Đặt $\sqrt{x^2+3}=a, 3x=b$. Khi đó thì ta có $a^2+b=a(b+1) \Leftrightarrow (a-b)(a-1)=0$.

Đến đây xét nếu $\sqrt{x^2+3}=1$ thì mâu thuẫn, nên $\sqrt{x^2+3}=3x$.

Ta tìm được $x= \pm \dfrac{ \sqrt 3}{ 2 \sqrt 2}$

Chỗ bôi đỏ nhầm rồi!

[etucgnaohtn]

Lời giải. Đặt $\sqrt{x^2+3}=a, 3x=b$. Khi đó thì ta có $a^2+b=a(b+1) \Leftrightarrow (a-b)(a-1)=0$.

Đến đây xét nếu $\sqrt{x^2+3}=1$ thì mâu thuẫn, nên $\sqrt{x^2+3}=3x$.

Ta tìm được $x= \pm \dfrac{ \sqrt 3}{ 2 \sqrt 2}$

Từ GT bình phương 2 vế ta được pt : $12x^3-x^2+6=0$

Áp dụng  công thức Cácđanô ta có $x=\frac{1}{36}(1-\frac{1}{\sqrt[3]{11663-756\sqrt{238}}}-\sqrt[3]{11663-756\sqrt{238}})$ $< \frac{-1}{3}$ ( loại vì đkxđ $x> \frac{-1}{3}$)

Vậy pt đã cho vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 23-05-2013 - 01:22