Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian:150 phút
Bài 1(2đ): Giải phương trình
$$3x^2+3x+3=(3x+1)\sqrt{x^2+3}$$
Bài 2(3đ): Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh:
$$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le \frac{3}{4}$$
Bài 3(4đ): Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $( C )$ tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $K,L,M$ lần lượt là trung điểm của cung $BC,CA,AB$ (theo thứ tụ không chứa đỉnh $A,B,C$) của đường tròn $( C )$.Đặt $P(AMBKCL)$ là chu vi lục giác $AMBKCL$. Chứng minh rằng:
$$P(AMBKCL)\ge 4(R+r)$$
Trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$
Bài 4(3đ): Chứng minh rằng:
$1.2^{3^n}\equiv -1(mod 3^{n+1}),n=1,2,3...$
$2.$ Có vô số số tự nhiên a thoả mãn $a| (2^a+1)$
Bài 5(4đ): Cho đường tròn $( C )$ tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $P$ cố định. Gọi $A,B$ là hai điểm thuộc $( C )$ và đối xứng nhau qua $O$. Chứng minh rằng khi $A,B$ thay đổi trên $( C )$ thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ đi qua một điểm cố định khác $P$.
Bài 6(4đ): Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy,\forall x,y \in \mathbb{R}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 22-05-2013 - 17:37