Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$3+a+b^{2}\vdots 6a$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-05-2013 - 19:27

Cho a,b là số nguyên sao cho $a\neq 0$ vả $3+a+b^{2}\vdots 6a$ Chứng minh a âm



#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 23-05-2013 - 00:11

Cho a,b là số nguyên sao cho $a\neq 0$ vả $3+a+b^{2}\vdots 6a$ Chứng minh a âm

Bài này thế mà kinh

Giải như sau:

Bổ đề: Không tồn tại $p$ nguyên tố lẻ và $p \equiv 2 \pmod{3}$ để $p|x^2+3$
Chứng minh: Giả sử phản chứng tồn tại $p$ nguyên tố lẻ mà $p \equiv 2 \pmod{3}$ để $p|x^2+3$

Trong các số ấy chọn $p_0$ nhỏ nhất $\neq 2$

Xét do $p_0|x^2+3$ và $x \equiv r \pmod{p_0}$ khi đó $p_0|r^2+3$ và $p_0|(p_0-r)^2+3$ nên ta có thể coi $r$ chẵn vì nếu khôg thay $r=p_0-r$
TH1: $r \not \vdots 3$ khi đó $r^2+3=p_0.k$ nên $k \equiv 2 \pmod{3}$ và $k$ lẻ từ đó tồn tại $p_0'|k$ và $p_0'$ lẻ có dạng chia 3 dư 2 mâu thuẫn vì $p_0'<k<p_0$ vì $r\le p-1$

TH2: $r \vdots 3$ đặt $r=3t$ khi đó $3t^2+1=p_0.h$ lập luận tương tự có mâu thuẫn

Vậy có đpcm

Hệ quả: Với $k$ nguyên dương, $k$ lẻ thì không có $x$ để $k|x^2+3$ và $k \equiv 2 \pmod{3}$

$$**********$$

Giả sử phản chứng $a>0$

Khi ấy từ đề có $a|b^2+3 \Rightarrow b^2+3=ak$ Từ đó $ak+k \vdots 6a \Rightarrow k \equiv 5 \pmod{6}$

Mà $a>0$ và $b^2+3=ak$ nên $k>0,k \equiv 5 \pmod{6}$

Khi đó áp dụng hệ quả của bổ đề trên suy ra mâu thuẫn

Vậy $\boxed{a<0}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 23-05-2013 - 10:08


#3 Mr Stoke

Mr Stoke

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 582 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-05-2013 - 06:07


Hệ quả: Với $k$ nguyên dương, $k$ lẻ thì không có $x$ để $k|x^2+3$

$$**********$$

 

Cái hệ quả này của em sai, nhưng em đã giải đúng hướng sửa lại chút xíu thôi.


Mr Stoke 


#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 23-05-2013 - 10:09

Cái hệ quả này của em sai, nhưng em đã giải đúng hướng sửa lại chút xíu thôi.

Hôm qua em đánh sai, em đã sửa lại :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 26-05-2013 - 23:28





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh