Cho a,b là số nguyên sao cho $a\neq 0$ vả $3+a+b^{2}\vdots 6a$ Chứng minh a âm
$3+a+b^{2}\vdots 6a$
#1
Đã gửi 22-05-2013 - 19:27
#2
Đã gửi 23-05-2013 - 00:11
Cho a,b là số nguyên sao cho $a\neq 0$ vả $3+a+b^{2}\vdots 6a$ Chứng minh a âm
Bài này thế mà kinh
Giải như sau:
Bổ đề: Không tồn tại $p$ nguyên tố lẻ và $p \equiv 2 \pmod{3}$ để $p|x^2+3$
Chứng minh: Giả sử phản chứng tồn tại $p$ nguyên tố lẻ mà $p \equiv 2 \pmod{3}$ để $p|x^2+3$
Trong các số ấy chọn $p_0$ nhỏ nhất $\neq 2$
Xét do $p_0|x^2+3$ và $x \equiv r \pmod{p_0}$ khi đó $p_0|r^2+3$ và $p_0|(p_0-r)^2+3$ nên ta có thể coi $r$ chẵn vì nếu khôg thay $r=p_0-r$
TH1: $r \not \vdots 3$ khi đó $r^2+3=p_0.k$ nên $k \equiv 2 \pmod{3}$ và $k$ lẻ từ đó tồn tại $p_0'|k$ và $p_0'$ lẻ có dạng chia 3 dư 2 mâu thuẫn vì $p_0'<k<p_0$ vì $r\le p-1$
TH2: $r \vdots 3$ đặt $r=3t$ khi đó $3t^2+1=p_0.h$ lập luận tương tự có mâu thuẫn
Vậy có đpcm
Hệ quả: Với $k$ nguyên dương, $k$ lẻ thì không có $x$ để $k|x^2+3$ và $k \equiv 2 \pmod{3}$
$$**********$$
Giả sử phản chứng $a>0$
Khi ấy từ đề có $a|b^2+3 \Rightarrow b^2+3=ak$ Từ đó $ak+k \vdots 6a \Rightarrow k \equiv 5 \pmod{6}$
Mà $a>0$ và $b^2+3=ak$ nên $k>0,k \equiv 5 \pmod{6}$
Khi đó áp dụng hệ quả của bổ đề trên suy ra mâu thuẫn
Vậy $\boxed{a<0}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 23-05-2013 - 10:08
- nhatquangsin và nhungvienkimcuong thích
#3
Đã gửi 23-05-2013 - 06:07
Hệ quả: Với $k$ nguyên dương, $k$ lẻ thì không có $x$ để $k|x^2+3$
$$**********$$
Cái hệ quả này của em sai, nhưng em đã giải đúng hướng sửa lại chút xíu thôi.
Mr Stoke
#4
Đã gửi 23-05-2013 - 10:09
Cái hệ quả này của em sai, nhưng em đã giải đúng hướng sửa lại chút xíu thôi.
Hôm qua em đánh sai, em đã sửa lại
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 26-05-2013 - 23:28
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh