Chủ đề này có 3 trả lời

[diepviennhi]

Cho a,b là số nguyên sao cho $a\neq 0$ vả $3+a+b^{2}\vdots 6a$ Chứng minh a âm

[nguyenta98]

Cho a,b là số nguyên sao cho $a\neq 0$ vả $3+a+b^{2}\vdots 6a$ Chứng minh a âm

Bài này thế mà kinh

Giải như sau:

Bổ đề: Không tồn tại $p$ nguyên tố lẻ và $p \equiv 2 \pmod{3}$ để $p|x^2+3$
Chứng minh: Giả sử phản chứng tồn tại $p$ nguyên tố lẻ mà $p \equiv 2 \pmod{3}$ để $p|x^2+3$

Trong các số ấy chọn $p_0$ nhỏ nhất $\neq 2$

Xét do $p_0|x^2+3$ và $x \equiv r \pmod{p_0}$ khi đó $p_0|r^2+3$ và $p_0|(p_0-r)^2+3$ nên ta có thể coi $r$ chẵn vì nếu khôg thay $r=p_0-r$
TH1: $r \not \vdots 3$ khi đó $r^2+3=p_0.k$ nên $k \equiv 2 \pmod{3}$ và $k$ lẻ từ đó tồn tại $p_0'|k$ và $p_0'$ lẻ có dạng chia 3 dư 2 mâu thuẫn vì $p_0'<k<p_0$ vì $r\le p-1$

TH2: $r \vdots 3$ đặt $r=3t$ khi đó $3t^2+1=p_0.h$ lập luận tương tự có mâu thuẫn

Vậy có đpcm

Hệ quả: Với $k$ nguyên dương, $k$ lẻ thì không có $x$ để $k|x^2+3$ và $k \equiv 2 \pmod{3}$

$$**********$$

Giả sử phản chứng $a>0$

Khi ấy từ đề có $a|b^2+3 \Rightarrow b^2+3=ak$ Từ đó $ak+k \vdots 6a \Rightarrow k \equiv 5 \pmod{6}$

Mà $a>0$ và $b^2+3=ak$ nên $k>0,k \equiv 5 \pmod{6}$

Khi đó áp dụng hệ quả của bổ đề trên suy ra mâu thuẫn

Vậy $\boxed{a<0}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 23-05-2013 - 10:08

[Mr Stoke]

Hệ quả: Với $k$ nguyên dương, $k$ lẻ thì không có $x$ để $k|x^2+3$

$$**********$$

 

Cái hệ quả này của em sai, nhưng em đã giải đúng hướng sửa lại chút xíu thôi.

[nguyenta98]

Cái hệ quả này của em sai, nhưng em đã giải đúng hướng sửa lại chút xíu thôi.

Hôm qua em đánh sai, em đã sửa lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 26-05-2013 - 23:28