SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013
THÁI BÌNH MÔN : TOÁN
_____________________ Thời gian làm bài : 150 phút (không kể giao đề)
Bài 1 : (3 điểm)
Cho $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2(\sqrt{3}+1)}}$
Tính $A=\frac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^{2}+3x}$
Bài 2 : (3 điểm)
Giải phương trình $2x^{2}+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^{2}+x+2}-1)$
Bài 3 : (3 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $2y(2x^{2}+1)-2x(2y^{2}+1)+1=x^{3}y^{3}$
Bài 4 : (3 điểm)
Cho đa thức $P(x)=ax^{2}+bx+c$ . Biết $P(x)>0\forall x\in R,a>0$
Chứng minh $\frac{5a-3b+2c}{a-b+c}>1$
Bài 5 : (3 điểm)
Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đến (O) (B,C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M,N. Chứng minh rằng : PM = PN = PA
Bài 6 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C, có $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh : $3BD^{2}=5AD^{2}+5CD^{2}\Leftrightarrow DC=2DA$
Bài 7 : (2 điểm)
Cho a,b,c thỏa 0 < a,b,c < 1 và ab + bc + ca = 1
Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}$