Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thái Bình năm học 2012-2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO            ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013

          THÁI BÌNH                                                     MÔN : TOÁN

_____________________                 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể giao đề)

Bài 1 : (3 điểm)

Cho $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2(\sqrt{3}+1)}}$

Tính $A=\frac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^{2}+3x}$

Bài 2 : (3 điểm)

Giải phương trình $2x^{2}+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^{2}+x+2}-1)$

Bài 3 : (3 điểm)

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $2y(2x^{2}+1)-2x(2y^{2}+1)+1=x^{3}y^{3}$

Bài 4 : (3 điểm)

Cho đa thức $P(x)=ax^{2}+bx+c$ . Biết $P(x)>0\forall x\in R,a>0$

Chứng minh $\frac{5a-3b+2c}{a-b+c}>1$

Bài 5 : (3 điểm)

Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đến (O) (B,C là các  tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M,N. Chứng minh rằng : PM = PN = PA

Bài 6 : (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C, có $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh : $3BD^{2}=5AD^{2}+5CD^{2}\Leftrightarrow DC=2DA$

Bài 7 : (2 điểm)

Cho a,b,c thỏa 0 < a,b,c < 1 và ab + bc + ca = 1

Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#2
phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết

Bài 1 : (3 điểm)

Cho $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2(\sqrt{3}+1)}}$

Tính $A=\frac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^{2}+3x}$

Bài giải:

 

 $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2(\sqrt{3}+1)}}$$= \sqrt{\frac{-2\sqrt{3}+4}{4}}= \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
 

 Tử số$=\frac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^{2}+3x}$$=2(\sqrt{3}+1)\left ( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right )^{2013}-2.\left ( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right )^{2012}+\sqrt{3}$$=2\left ( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right )^{2012}-2.\left ( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right )^{2012}+\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Mẫu số:

$2x^{2}+3x=2(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^{2}+3.\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

 

Do đó:$A=\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=3-\sqrt{3}$



#3
etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

 

Bài 2 : (3 điểm)

Giải phương trình $2x^{2}+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^{2}+x+2}-1)$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+x+2}-x-1)(\sqrt{x^2+x+2}-x-2)=0$$\Leftrightarrow \cdots$


Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#4
phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết

Bài 2 : (3 điểm)

Giải phương trình $2x^{2}+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^{2}+x+2}-1)$

Cách khác:

Đặt:$\sqrt{x^2+x+2}=t(t\geq 0)$.Khi đó pt đã cho thành:

$t^2-(2x+3)t+x^2+3x+2=0$

Giải phương trình với ẩn là t ta được:

$t=x+2 \vee t=x+1$

Với t=x+2 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -2\\ x^{2}+x+2=x^2+4x+4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -2\\ x=\frac{-2}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}$

Tương tự:t=x+1,giải ra ta được:x=-1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 23-05-2013 - 18:49


#5
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Mọi người làm câu cuối đi !


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#6
etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

 

Bài 7 : (2 điểm)

Cho a,b,c thỏa 0 < a,b,c < 1 và ab + bc + ca = 1

Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}$

Vì $b< 1$ (gt) nên $-1< 1-2b< 1$

Xét  $0\leq1-2b<1$ : Áp dụng bđt Côsi cho 2 số không âm : $\frac{a^2(1-2b)}{b}+b(1-2b)\geq 2a-4ab$

Tương tự ...

Suy ra $P \geq 2(a^2+b^2+c^2)+a+b+c-4(ab+bc+ca)\geq 2+\sqrt{3}-4=\sqrt{3}-2$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Xét $-1 <1-2b<0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 24-05-2013 - 13:55

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#7
NguyenThuAn98

NguyenThuAn98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Vì $b< 1$ (gt) nên $-1< 1-2b< 1$

Xét  $0\leq1-2b<1$ : Áp dụng bđt Côsi cho 2 số không âm : $\frac{a^2(1-2b)}{b}+b(1-2b)\geq 2a-4ab$

Tương tự ...

Suy ra $P \geq 2(a^2+b^2+c^2)+a+b+c-4(ab+bc+ca)\geq 2+\sqrt{3}-4=\sqrt{3}-2$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Xét $-1 <1-2b<0$

Tại sao chỗ này lại tương tự được hả bạn?? Đâu phải a,b,c đều nằm trong 1 khoảng như nhau??



#8
dinhthanhhung

dinhthanhhung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}$

 

$\sum \frac{[a(1-2b)]^{2}}{b(1-2b)}\geq \frac{(\sum a-2ab)^{2}}{\sum b-b^{2}}$

 

$a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$

 

Xét : $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a-b-c$

 

$a^{2}+\frac{1}{3}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}a\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\geq a-\frac{1}{2\sqrt{3}}$

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

 

Lắp tất cả ra min .

 

@@ nhờ mod del giùm , ngc dấu . tks


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhthanhhung: 25-05-2013 - 00:00


#9
Mi Chance

Mi Chance

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

mọi người có thể làm b3 giúp e đc ko a?



#10
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO            ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013

          THÁI BÌNH                                                     MÔN : TOÁN

_____________________                 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể giao đề)

Bài 1 : (3 điểm)

Cho $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2(\sqrt{3}+1)}}$

Tính $A=\frac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^{2}+3x}$

Bài 2 : (3 điểm)

Giải phương trình $2x^{2}+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^{2}+x+2}-1)$

Bài 3 : (3 điểm)

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $2y(2x^{2}+1)-2x(2y^{2}+1)+1=x^{3}y^{3}$

Bài 4 : (3 điểm)

Cho đa thức $P(x)=ax^{2}+bx+c$ . Biết $P(x)>0\forall x\in R,a>0$

Chứng minh $\frac{5a-3b+2c}{a-b+c}>1$

Bài 5 : (3 điểm)

Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đến (O) (B,C là các  tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M,N. Chứng minh rằng : PM = PN = PA

Bài 6 : (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C, có $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh : $3BD^{2}=5AD^{2}+5CD^{2}\Leftrightarrow DC=2DA$

Bài 7 : (2 điểm)

Cho a,b,c thỏa 0 < a,b,c < 1 và ab + bc + ca = 1

Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}$

Bài 6: 

1620753_1517414308483723_886360327_n.jpg

 

Tính được $AC=R\sqrt{3}; BC=R$
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Ptoleme có:
$AD.BC+AB.CD=AC.BD$ (lên google xem cách chứng minh cho nhanh nhé)
$\Rightarrow AD.R+CD.2R=BD.R\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow AD+2CD=BD\sqrt{3}$
$\Rightarrow 3BD^{2}=AD^{2}+4CD^{2}+4AD.CD$
Vậy ta có:
$3BD^{2}=5AD^{2}+5CD^{2}\Leftrightarrow AD^{2}+4CD^{2}+4AD.CD=5AD^{2}+5CD^{2}$
$\Leftrightarrow 4AD^{2}-4AD.CD+CD^{2}=0$
$\Leftrightarrow (2AD-CD)^{2}=0$
$\Leftrightarrow CD=2AD$
Bài 4: 
Từ GT $P(x)>0$ với mọi $x$ thuộc $R$ và $a>0$ suy ra $c>\frac{b^{2}}{4a}$
Vì $P(x)>0$ với mọi $x$ thuộc $R$ nên $P(-1)>0$
Suy ra $a-b+c>0$
Vậy $\frac{5a-3b+2c}{a-b+c}>1\Leftrightarrow 5a-3b+2c>a-b+c\Leftrightarrow 4a+c>2b$
Ta có: $4a+c>4a+\frac{b^{2}}{4a}$
Áp dụng Côsi có: $4a+\frac{b^{2}}{4a}\geq 2|b|\geq 2b$
$\Rightarrow 4a+c>2b$
$\Rightarrow Q.E.D$

 


mọi người có thể làm b3 giúp e đc ko a?

 

Bài 3:

 

Đặt $\left\{\begin{matrix}a=x-y & & \\ b=xy & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a;b \in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow 4ab-2a+1=b^{3}\forall a;b\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow 2a=\frac{b^{3}-1}{2b-1}(2b-1\neq 0\forall b\in \mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow 16a=4b^{2}+2b+1-\frac{7}{2b-1}$
$\Rightarrow 2b-1\in U(7)$
$\Leftrightarrow 2b-1=\begin{bmatrix}1  &  & \\ -1  &  & \\ 7  &  & \\ -7 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}b=1\Rightarrow a=0  &  & \\ b=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}(L)  &  & \\ b=4\Rightarrow a=\frac{9}{2}(L)  &  & \\ b=-3\Rightarrow a=2  \end{bmatrix}$
Với $a=0;b=1$ ta có
$\left\{\begin{matrix}x-y=0  &  & \\ xy=1  &  &  \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=y=\pm 1$
Với $a=2;b=-3$ ta có
$\left\{\begin{matrix}x-y=2  &  & \\ xy=-3  &  &  \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow PT VN$

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 29-01-2014 - 22:19


#11
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO            ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013

          THÁI BÌNH                                                     MÔN : TOÁN

_____________________                 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể giao đề)

 

Bài 7 : (2 điểm)

Cho a,b,c thỏa 0 < a,b,c < 1 và ab + bc + ca = 1

Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}$

Bài 7:
Dễ dàng CM: $a+b+c\geq \sqrt{3}$

Có: $a;b;c\in (0;1)$ nên $a(1-a)>0$ và $\frac{1-a}{a}>0$

Áp dụng Cauchy:
$\frac{a^{2}(1-b)}{b}+b(1-b)\geq 2a(1-b)$

Tương tự ....
Cộng theo vế ta được:
$P+a+b+c\geq 2\sum a-2\sum ab \Leftrightarrow P\geq \sum a-2\geq \sqrt{3}-2$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

 

 

Bài 5 : (3 điểm)

Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đến (O) (B,C là các  tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M,N. Chứng minh rằng : PM = PN = PA

 

Bài 5: 1028536468_1493937441_320_320.jpg

 

Với $d$ là đường đi qua trung điểm $AB$

Chứng minh được $PM=PN$
Gọi $I=OA\cap d; K=OA\cap BC$, chứng minh được $IA=IK$

$PA^{2}=AI^{2}+PI^{2}$

$=AI^{2}+PO^{2}-OI^{2}$

$=PO^{2}-(OI-AI)(OI+AI)$

$=PO^{2}-OK.OA$ (do $IA=IK$)

 

$=PO^{2}-OC^{2}$ (hệ thức lượng tam giác AOC)

$=PO^{2}-ON^{2}=PN^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 29-01-2014 - 22:35





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh