Bài toán: Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-06-2013 - 20:48
Bài toán: Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-06-2013 - 20:48
Gọi giới hạn cần tính là $L$, ta có :
$L=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\ln(C_{n}^{0}C_{n}^{1}...C_{n}^{n})=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\ln\left ( \frac{1^1.2^2.3^3...n^n}{1!.2!.3!...n!} \right )$
Đặt $S_n=\ln\frac{1^1.2^2...n^n}{1!.2!...n!}$ ; $A_n=\ln\frac{n^n}{n!}$ ; $t_n=A_{n+1}-A_n \Rightarrow A_1=0$ ; $A_{k+1}=t_1+t_2+...+t_k$
$t_n=\ln\frac{1^1.2^2...(n+1)^{n+1}}{1!.2!...(n+1)!}-\ln\frac{1^1.2^2...n^n}{1!.2!...n!}=\ln\left [ \left ( \frac{n+1}{n} \right )^n \right ]\Rightarrow t_n$ là dãy số tăng và $t_n\rightarrow 1$
$\Rightarrow 0< t_1< \frac{t_1+t_2}{2}< \frac{t_1+t_2+t_3}{3}< ...< \frac{t_1+t_2+...+t_{k-1}}{k-1}<...<1$
hay $A_1< \frac{A_2}{1}<\frac{A_3}{2}<...<\frac{A_k}{k-1}<...<1$
Vì $t_n\rightarrow 1\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{n-1}=1\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{2n-1}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{A_1+A_2+A_3+...+A_n}{1^2+(2.2-1)+(2.3-1)+...+(2n-1)}=\frac{1}{2}$
Chú ý rằng $A_1+A_2+...+A_n=S_n$ và $1^2+(2.2-1)+...+(2n-1)=n^2$, ta có : $L=\lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n^2}=\frac{1}{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-10-2015 - 07:32
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Bài toán: Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.
đặt $\left\{\begin{matrix}x_n=\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k} \\ y_n=n^2 \end{matrix}\right.$
ta có
$x_{n+1}-x_n=\sum_{k=0}^{n}\left ( \ln\binom{n+1}{k}-\ln\binom{n}{k} \right )+\ln\binom{n+1}{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\ln\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}=\ln\prod_{k=0}^{n}\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}=\ln\frac{(n+1)^n}{n!}$
do đó theo định lý $\text{Stolz}$
$\lim\frac{x_n}{y_n}=\lim\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\lim\frac{n\ln(n+1)-\ln n!}{2n+1}$
áp dụng công thức Stirling's approximation ta có
$\frac{n\ln(n+1)-\ln n!}{2n+1}=\frac{n\left ( \ln(n+1)-\ln n \right )+n-O(\ln n)}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}+\frac{\ln\left ( n+\frac{1}{n} \right )^n -O(\ln n)}{2n+1}$
do đó ta có
$\lim\frac{x_n}{y_n}=\lim \left( \frac{n}{2n+1}+\frac{\ln\left ( n+\frac{1}{n} \right )^n -O(\ln n)}{2n+1} \right )=\frac{1}{2}$
vậy $\boxed{\boxed{\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n^2}\ln\binom{n}{k}=\frac{1}{2}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 24-10-2015 - 21:59
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
combinatorial limit
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\sum_{k}\binom{n}{k}2^{-k}=\frac{1}{2}$Bắt đầu bởi dark templar, 17-06-2013 combinatorial limit |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh