Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.

combinatorial limit

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-05-2013 - 21:39

Bài toán: Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.

 

Kết quả


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-06-2013 - 20:48

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1048 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-10-2015 - 19:11

Bài toán: Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.

 

Kết quả

Gọi giới hạn cần tính là $L$, ta có :

$L=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\ln(C_{n}^{0}C_{n}^{1}...C_{n}^{n})=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\ln\left ( \frac{1^1.2^2.3^3...n^n}{1!.2!.3!...n!} \right )$

Đặt $S_n=\ln\frac{1^1.2^2...n^n}{1!.2!...n!}$ ; $A_n=\ln\frac{n^n}{n!}$ ; $t_n=A_{n+1}-A_n \Rightarrow A_1=0$ ; $A_{k+1}=t_1+t_2+...+t_k$

$t_n=\ln\frac{1^1.2^2...(n+1)^{n+1}}{1!.2!...(n+1)!}-\ln\frac{1^1.2^2...n^n}{1!.2!...n!}=\ln\left [ \left ( \frac{n+1}{n} \right )^n \right ]\Rightarrow t_n$ là dãy số tăng và $t_n\rightarrow 1$

$\Rightarrow 0< t_1< \frac{t_1+t_2}{2}< \frac{t_1+t_2+t_3}{3}< ...< \frac{t_1+t_2+...+t_{k-1}}{k-1}<...<1$

hay $A_1< \frac{A_2}{1}<\frac{A_3}{2}<...<\frac{A_k}{k-1}<...<1$

Vì $t_n\rightarrow 1\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{n-1}=1\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{2n-1}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{A_1+A_2+A_3+...+A_n}{1^2+(2.2-1)+(2.3-1)+...+(2n-1)}=\frac{1}{2}$

Chú ý rằng $A_1+A_2+...+A_n=S_n$ và $1^2+(2.2-1)+...+(2n-1)=n^2$, ta có : $L=\lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n^2}=\frac{1}{2}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-10-2015 - 07:32

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 440 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 24-10-2015 - 19:13

Bài toán: Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.

đặt $\left\{\begin{matrix}x_n=\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k} \\ y_n=n^2 \end{matrix}\right.$

ta có 

$x_{n+1}-x_n=\sum_{k=0}^{n}\left ( \ln\binom{n+1}{k}-\ln\binom{n}{k} \right )+\ln\binom{n+1}{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\ln\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}=\ln\prod_{k=0}^{n}\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}=\ln\frac{(n+1)^n}{n!}$

do đó theo định lý $\text{Stolz}$

$\lim\frac{x_n}{y_n}=\lim\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\lim\frac{n\ln(n+1)-\ln n!}{2n+1}$

áp dụng công thức Stirling's approximation  ta có

$\frac{n\ln(n+1)-\ln n!}{2n+1}=\frac{n\left ( \ln(n+1)-\ln n \right )+n-O(\ln n)}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}+\frac{\ln\left ( n+\frac{1}{n} \right )^n -O(\ln n)}{2n+1}$

do đó ta có 

$\lim\frac{x_n}{y_n}=\lim \left( \frac{n}{2n+1}+\frac{\ln\left ( n+\frac{1}{n} \right )^n -O(\ln n)}{2n+1} \right )=\frac{1}{2}$

vậy $\boxed{\boxed{\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n^2}\ln\binom{n}{k}=\frac{1}{2}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 24-10-2015 - 21:59

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh