Chủ đề này có 14 trả lời

[phuocthinh02]

Câu 1: (2,0 điểm)

 

1. Cho số  $x(x\epsilon R ;x> 0)$ thỏa mãn điều kiện: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$

Tính giá trị các biểu thức: $A=x^{3}+\frac{1}{x^{3}} và B=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$

 

 

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}} &+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 \\ \frac{1}{\sqrt{y}} &+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \\ \end{matrix}\right.$

 

 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện: $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$. Tính GTLN của biểu thức:

                             $Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$

 

Câu 3: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố.

 

Câu 4: 

1.Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $E$. Một đường thẳng qua $A$, cắt các cạnh $BC$ tại $M$ và cắt đường thẳng $CD$ tại $N$. Gọi $K$ là giao điểm của các đường thẳng $EM$ và $BN$. CMR: $CK$ vuông góc với $BN$

2. Cho đường tròn $(O)$ bán kính $R=1$ và một điểm $A$ sao cho $OA=\sqrt{2}$. Vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Một góc $xOy$ có số đo bằng $45^{\circ}$ có cạnh $Ox$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại $D$ và cạnh $Oy$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại $E$. CMR: $2\sqrt{2}-2\leq DE< 1$

 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức $P= a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd$, trong đó $ad-bc =1$. CMR: $P\geq \sqrt{3}$.

[Juliel]

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}} &+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 \\ \frac{1}{\sqrt{y}} &+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \\ \end{matrix}\right.$

 

Gỉa sử $x>y$ > 0 

Ta có $\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{y}}\Rightarrow 2-\sqrt{2-\frac{1}{y}}<2-\sqrt{2-\frac{1}{x}}\Rightarrow \sqrt{2-\frac{1}{y}}>\sqrt{2-\frac{1}{x}}\Rightarrow \frac{1}{y}<\frac{1}{x}\Rightarrow y>x$ (mâu thuẫn giả sử)

Tương tự nếu 0 < x < y thì cũng dẫn đến mâu thuẫn

Vậy x = y

Thay vào rồi giải phương trình

[phuocthinh02]

Câu 1: (2,0 điểm)

 

1. Cho số  $x(x\epsilon R ;x> 0)$ thỏa mãn điều kiện: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$

Tính giá trị các biểu thức: $A=x^{3}+\frac{1}{x^{3}} và B=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$

Ta có: $(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=7$

$\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^{2}=9\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=3$ (vì $x\epsilon R,x> 0$)

$A=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=(x+\frac{1}{x})(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-(x+\frac{1}{x})$$=3\cdot 7-3=18$

Tương tự: $B=123$

Đúng không? Juliel

[huy thắng]

Câu 3: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

 

Áp dụng bđt $Cosi$ cho 2 số không âm,ta có:

$$\sqrt{x-2} + \sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010} \leq \frac{x-2+1+y+1+2009+z-2010+1}{2}=VP$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy thắng: 24-05-2013 - 14:42

[Juliel]

Câu 3: (2,0 điểm)

 

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố.

Gỉa sử p không chia hết cho 5 $\Rightarrow p=5k+r$ với $r\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$

Khi đó $p^{2}=(5k+r)^{2}\equiv r^{2}\equiv 1;4 (mod5)$

Suy ra $4p^{2}+1\equiv 0 (mod5)$ .  (1)

Vì p nguyên tố nên $p\neq 1\Rightarrow 4p^{2}+1\neq 5$ (2)

Từ (1)(2) $\Rightarrow$ $4p^{2}+1$ là hợp số

Vậy p phải chia hết cho 5, suy ra p = 5 (p nguyên tố)

Thử lại với p = 5 thì $4p^{2}+1;6p^{2}+1$ đều là những số nguyên tố

 

ĐÁP SỐ : p = 5

[duaconcuachua98]

 

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố.

 

$\bigstar$ Xét $p=2;3;5;7$ chỉ có $p=5$ thỏa mãn

$\bigstar$ Với $p\geq 11$ thì $p$ tận cùng là $1;3;7;9$

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $1$ suy ra $4p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $3$ suy ra $6p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $7$ suy ra $6p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $9$ suy ra $4p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

Vậy $p=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 24-05-2013 - 15:12

[PTKBLYT9C1213]

Câu 1: (2,0 điểm)

 

1. Cho số  $x(x\epsilon R ;x> 0)$ thỏa mãn điều kiện: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$

Tính giá trị các biểu thức: $A=x^{3}+\frac{1}{x^{3}} và B=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$

 

 

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}} &+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 \\ \frac{1}{\sqrt{y}} &+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \\ \end{matrix}\right.$

 

 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện: $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$. Tính GTLN của biểu thức:

                             $Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$

 

Câu 3: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố.

 

Câu 4: 

1.Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $E$. Một đường thẳng qua $A$, cắt các cạnh $BC$ tại $M$ và cắt đường thẳng $CD$ tại $N$. Gọi $K$ là giao điểm của các đường thẳng $EM$ và $BN$. CMR: $CK$ vuông góc với $BN$

2. Cho đường tròn $(O)$ bán kính $R=1$ và một điểm $A$ sao cho $OA=\sqrt{2}$. Vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Một góc $xOy$ có số đo bằng $45^{\circ}$ có cạnh $Ox$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại $D$ và cạnh $Oy$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại $E$. CMR: $2\sqrt{2}-2\leq DE< 1$

 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức $P= a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd$, trong đó $ad-bc =1$. CMR: $P\geq \sqrt{3}$.

Câu 5:

Ta có: $(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-2abcd$

$=a^{2}(c^{2}+d^{2})+b^{2}(c^{2}+d^{2})=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

$\Rightarrow (ac+bd)^{2}+1=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

Mặt khác :

P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}+ac+bd=2\sqrt{(ac+bd)^{2}+1}+ac+bd$

Vì $2\sqrt{(ac+bd)^{2}+1}> \left | ac+bd \right |\Rightarrow P>0$

Đặt x=ac+bd

$\Rightarrow P\geq 2\sqrt{x^{2}+1}+x$

$\Leftrightarrow P^{2}\geq 4(x^{2}+1)+x^{2}+4x\sqrt{x^{2}+1}=(2x+\sqrt{x^{2}+1})^{2}+3\geq 3\Leftrightarrow P\geq \sqrt{3}$

[IloveMaths]

 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện: $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$. Tính GTLN của biểu thức:

                             $Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$

 

 

Theo Vi-ét:  $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a};x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

Ta có:

$Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$=$\frac{{2-\frac{3.b}{a}+(\frac{b}{a})^2}}{2-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$=$\frac{2+3(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^2}{2+(x_{1}+x_{2})+x_{1}.x_{2}}$

Dự đoán Max = 3

Do đó ta cần chứng minh:

$2+3(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^2\leq 6+3(x_{1}+x_{2})+3.x_{1}.x_{2}\Leftrightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-x_{1}.x_{2}\leq 4$

Xét hai truong hop:

-Nếu $x_{1}=0\Rightarrow x_{2}^2\leq 4$ ( đúng do $x_{2}\leq 2$ ) 

-Nếu $x_{1}\neq 0\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-x_{1}.x_{2}\leq x_{1}^2+x_{2}^2-x_{1}.x_{1}= x_{2}^2\leq 4$ ( đúng do $x_{2}\leq 2$ )

 

Vậy Max = 3 . Dấu bằng xảy ra khi $(x_{1};x_{2})=(0;2),(2;2)$

 

                                             

[phuocthinh02]

Theo Vi-ét:  $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a};x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

Ta có:

$Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$=$\frac{{2-\frac{3.b}{a}+(\frac{b}{a})^2}}{2-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$=$\frac{2+3(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^2}{2+(x_{1}+x_{2})+x_{1}.x_{2}}$

Dự đoán Max = 3

Do đó ta cần chứng minh:

$2+3(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^2\leq 6+3(x_{1}+x_{2})+3.x_{1}.x_{2}\Leftrightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-x_{1}.x_{2}\leq 4$

Xét hai truong hop:

-Nếu $x_{1}=0\Rightarrow x_{2}^2\leq 4$ ( đúng do $x_{2}\leq 2$ ) 

-Nếu $x_{1}\neq 0\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-x_{1}.x_{2}\leq x_{1}^2+x_{2}^2-x_{1}.x_{1}= x_{2}^2\leq 4$ ( đúng do $x_{2}\leq 2$ )

 

Vậy Max = 3 . Dấu bằng xảy ra khi $(x_{1};x_{2})=(0;2),(2;2)$

 

                                             

dự đoán Max = 3 mình dùng tam thức bậc 2 hả ? 

[IloveMaths]

dự đoán Max = 3 mình dùng tam thức bậc 2 hả ? 

       

Thử vài giá trị thôi ..............  

[trananh2771998]

 

$\bigstar$ Xét $p=2;3;5;7$ chỉ có $p=5$ thỏa mãn

$\bigstar$ Với $p\geq 11$ thì $p$ tận cùng là $1;3;7;9$

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $1$ suy ra $4p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $3$ suy ra $6p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $7$ suy ra $6p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $9$ suy ra $4p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

Vậy $p=5$

 

Hình như có gì đó không đúng .Tận cùng là 5 cũng có thể là Số chính phương mà

[IloveMaths]

Câu 3: (2,0 điểm)

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố.

 

Xét so dư của p khi chia cho 5 , ta có các so du là 0,1,2,3,4

- Nếu $p=5k+1(k\geq 1)\Rightarrow 4p^2+1=4.(5k+1)^2+1\vdots 5$ và $p>5\Rightarrow$ không là số nguyên tô

- Néu $p=5k+2(k\geq 1)\Rightarrow 6p^2+1=6(5k+2)^2+1\vdots 5$ và $p>5\Rightarrow$ không là sô nguyên tố

-Nếu $p=5k+3(k\geqslant 1)\Rightarrow 6p^2+1=6.(5k+3)^2+1\vdots 5$ và $p>5\Rightarrow$ không là số nguyên tô

-Nếu $p=5k+4\Rightarrow 4p^2+1=4.(5k+4)^2+1\vdots 5$ và $p>5\Rightarrow$ không là số nguyên tô

Vậy p = 5

[PTKBLYT9C1213]

Gỉa sử $x>y$ > 0 

Ta có $\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{y}}\Rightarrow 2-\sqrt{2-\frac{1}{y}}<2-\sqrt{2-\frac{1}{x}}\Rightarrow \sqrt{2-\frac{1}{y}}>\sqrt{2-\frac{1}{x}}\Rightarrow \frac{1}{y}<\frac{1}{x}\Rightarrow y>x$ (mâu thuẫn giả sử)

Tương tự nếu 0 < x < y thì cũng dẫn đến mâu thuẫn

Vậy x = y

Thay vào rồi giải phương trình

 

 

 

 

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}} &+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 \\ \frac{1}{\sqrt{y}} &+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \\ \end{matrix}\right.$

 

 

 

Đk x,y $\geq$$\frac{1}{2}$

Đặt $\frac{1}{\sqrt{x}}=a, \frac{1}{\sqrt{y}}=b$

$\Rightarrow \sqrt{2-\frac{1}{y}}=\sqrt{2-b^{2}}, \sqrt{2-\frac{1}{x}}=\sqrt{2-a^{2}}$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} a+\sqrt{2-b^{2}}=2\\b+\sqrt{2-a^{2}}=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2-b^{2}=4-4a+a^{2}\\2-a^{2}=4-4b+b^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b$

[PTKBLYT9C1213]

Câu 1: (2,0 điểm)

 

1. Cho số  $x(x\epsilon R ;x> 0)$ thỏa mãn điều kiện: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$

Tính giá trị các biểu thức: $A=x^{3}+\frac{1}{x^{3}} và B=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$

 

 

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}} &+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 \\ \frac{1}{\sqrt{y}} &+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \\ \end{matrix}\right.$

 

 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện: $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$. Tính GTLN của biểu thức:

                             $Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$

 

Câu 3: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố.

 

Câu 4: 

1.Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $E$. Một đường thẳng qua $A$, cắt các cạnh $BC$ tại $M$ và cắt đường thẳng $CD$ tại $N$. Gọi $K$ là giao điểm của các đường thẳng $EM$ và $BN$. CMR: $CK$ vuông góc với $BN$

2. Cho đường tròn $(O)$ bán kính $R=1$ và một điểm $A$ sao cho $OA=\sqrt{2}$. Vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Một góc $xOy$ có số đo bằng $45^{\circ}$ có cạnh $Ox$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại $D$ và cạnh $Oy$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại $E$. CMR: $2\sqrt{2}-2\leq DE< 1$

 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức $P= a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd$, trong đó $ad-bc =1$. CMR: $P\geq \sqrt{3}$.

Câu 4:

a, Kẻ EH vuông góc EK ( H thuộc AB)

Ta có $\Delta HEB=\Delta MEC(g.c.g)\Rightarrow HE=EM\Rightarrow \widehat{HME}=45^{0}$

Vì AB=BC và HE=EM nên AH=BM

$\frac{AH}{HB}=\frac{BM}{MC}=\frac{AM}{MN}$ ( do AB//CN)

$\Rightarrow \frac{AH}{HB}=\frac{AM}{MN}\Rightarrow HM//BN\Rightarrow \widehat{BKM}=\widehat{HME}=45^{0}$

Mà $\widehat{ECB}=45^{0}$

Nên BECK nội tiếp 

Suy ra CK vuông góc BN

[PTKBLYT9C1213]

Câu 1: (2,0 điểm)

 

1. Cho số  $x(x\epsilon R ;x> 0)$ thỏa mãn điều kiện: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$

Tính giá trị các biểu thức: $A=x^{3}+\frac{1}{x^{3}} và B=x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$

 

 

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}} &+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 \\ \frac{1}{\sqrt{y}} &+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \\ \end{matrix}\right.$

 

 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện: $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$. Tính GTLN của biểu thức:

                             $Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$

 

Câu 3: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố.

 

Câu 4: 

1.Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $E$. Một đường thẳng qua $A$, cắt các cạnh $BC$ tại $M$ và cắt đường thẳng $CD$ tại $N$. Gọi $K$ là giao điểm của các đường thẳng $EM$ và $BN$. CMR: $CK$ vuông góc với $BN$

2. Cho đường tròn $(O)$ bán kính $R=1$ và một điểm $A$ sao cho $OA=\sqrt{2}$. Vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Một góc $xOy$ có số đo bằng $45^{\circ}$ có cạnh $Ox$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại $D$ và cạnh $Oy$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại $E$. CMR: $2\sqrt{2}-2\leq DE< 1$

 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức $P= a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd$, trong đó $ad-bc =1$. CMR: $P\geq \sqrt{3}$.

Câu 4:

b, Xem tại http://diendantoanho...á-trị-lớn-nhất/

Ta có DA+DE+AE=2 

mà DA+AE>DE

Nên 2DE<2 hay DE<1