Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangvtvpvn]

Cho a,b,c>0 và a+b+c<1

CMR  

         $\frac{abc\left ( 1-a-b-c \right )}{\left ( a+b+c \right )\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}\leq \frac{1}{81}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-05-2013 - 20:02

[tacloanbo]

anh có 1 lời giải nhưng dùng kiến thức khá cao

[arsenal20101998]

Đặt $\frac{a}{1-a}=x; \frac{b}{1-b}=y;\frac{c}{1-c}=z;\frac{1-a-b-c}{a+b+c}=t$

Dễ dàng tính được $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{t+1}=3$

Bài toán quy về chứng minh $xyzt\leq \frac{1}{81}$

Ta có:

$\frac{1}{1+x}=1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}+1-\frac{1}{1+t}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{t}{1+t}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{yzt}{(1+y)(1+z)(1+t)}}$

CMTT rồi nhân các BDT lại và thu gọn ta được dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsenal20101998: 27-05-2013 - 18:32