Chủ đề này có 3 trả lời

[elgato02]

a) $\lim_{x\rightarrow 1}3^{\frac{1}{1-x}}$

b) $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\arctan \frac{1}{1-x}$

c) $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin ^{2}x)^{\tan x}$

d) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}$ (m,n $\epsilon$ Z)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-05-2013 - 01:09

[phudinhgioihan]

a) $\lim_{x\rightarrow 1}3^{\frac{1}{1-x}}$

b) $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\arctan \frac{1}{1-x}$

c) $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin ^{2}x)^{\tan x}$

d) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}$ (m,n $\epsilon$ Z)

 

Câu a):

 

$\lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{1-x}=+\infty $, do đó $\lim_{x\rightarrow 1}3^{\frac{1}{1-x}} = +\infty$

 

$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{1-x}=- \infty $, do đó $\lim_{x\rightarrow 1}3^{\frac{1}{1-x}}=0 $

 

Vậy $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{1-x}$ không tồn tại.

 

Câu b)

 

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x}=-\infty $ , do đó $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\arctan \frac{1}{1-x}=-\frac{\pi}{2}$

 

Câu c)

 

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin ^{2}x)^{\tan x}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1-\cos x)^{\tan x}(1+\cos x)^{\tan x}$

 

$$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} (1-\cos x)^{\tan x}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \left[(1-\cos x)^{\frac{1}{\cos x}} \right]^{\sin x} =\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} e^{-\sin x}=e^{-1}$$

 

$$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} (1+\cos x)^{\tan x} =\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \left[(1+\cos x){\frac{1}{\cos x}}\right]^{\sin x}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} e^{\sin x}=e $$

 

Vậy $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin ^{2}x)^{\tan x}=1$

 

Câu d)

 

Đặt $f(x)=\sqrt[n]{1+ax}\sqrt[m]{1+bx}$ , dễ thấy $f$ khả vi trong lân cận của 0 bỏ đi 0.

 

 $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}=\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{m}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-05-2013 - 01:38

[Mrnhan]

Chém lại 2 câu cuối:

Câu c: 

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(sin^2x)^{tanx}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}[(1-cos^2x)^{\frac{1}{-cos^2x}}]^{-sinx\:cosx}=e^0=1$

 

Câu d:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}.\sqrt[m]{1+bx}+\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{ax}{nx}.\sqrt[m]{1+bx}+\lim_{x\to 0}\frac{bx}{mx}=\frac{a}{n}+\frac{b}{m}$

[phudinhgioihan]

 

Câu d:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}.\sqrt[m]{1+bx}+\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}$$

$$=\lim_{x\to 0}\frac{ax}{nx}.\sqrt[m]{1+bx}+\lim_{x\to 0}\frac{bx}{mx}=\frac{a}{n}+\frac{b}{m}$$

 

Mặc dù kết quả đúng nhưng bài giải sai.

Lý do: dòng $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}.\sqrt[m]{1+bx}+\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}$

 

Để có điều này cần tính trước $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}.\sqrt[m]{1+bx}$  và  $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}$ , chỉ khi nào chứng tỏ được hai giới hạn này hữu hạn thì mới được phép ghi dấu "=". Để giải theo cách này thì phải làm ngược, tính hai giới hạn trên trước rồi mới suy ra  $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}\sqrt[m]{1+bx}-1}{x}$.

Giải tích khó ở chỗ này, mọi thứ phải chặt chẽ mới được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 29-09-2013 - 02:00