Chủ đề này có 7 trả lời

[Zaraki]

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $H$ là trực tâm. Biết $OA=AH$. Tính góc $BAC$.

(Albania IMO TST 2013)

[nhatquangsin]

Vẽ $OF$ vuông góc $BC$. Khi đó ta dễ dàng chứng minh $OF=\frac{1}{2}AH$. Và $OA=AH$ $\Rightarrow OF=OH=OC$ (bán kính đường tròn $O$). Từ đó $\rightarrow \Delta OFC$ là nửa tam giác đều $\Rightarrow \angle COF=60^{\circ}\Rightarrow \angle BOC=120^{\circ}$. Và $\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=60^{\circ}$.

Vậy $\angle BAC=60^{\circ}$

Hình gửi kèm

• 

[whatever2507]

Bài này có thể làm tính toán hơn như sau:

Ta có 2 kết quả quen thuộc:

• $AH=acotA$
• $cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

Áp dụng 2 kết quả và giả thiết ta có: $a(b^2+c^2-a^2)=4RS=abc$ suy ra $b^2+c^2-bc=a^2$ từ đây áp dụng định lý cos ta có $cosA=\frac{1}{2}$ hay $\widehat{A}=60^o$.

 

[perfectstrong]

Bài này có thể làm tính toán hơn như sau:

Ta có 2 kết quả quen thuộc:

• $AH=acotA$
• $cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

Áp dụng 2 kết quả và giả thiết ta có: $a(b^2+c^2-a^2)=4RS=abc$ suy ra $b^2+c^2-bc=a^2$ từ đây áp dụng định lý cos ta có $cosA=\frac{1}{2}$ hay $\widehat{A}=60^o$.

 

Vẽ $OF$ vuông góc $BC$. Khi đó ta dễ dàng chứng minh $OF=\frac{1}{2}AH$. Và $OA=AH$ $\Rightarrow OF=OH=OC$ (bán kính đường tròn $O$). Từ đó $\rightarrow \Delta OFC$ là nửa tam giác đều $\Rightarrow \angle COF=60^{\circ}\Rightarrow \angle BOC=120^{\circ}$. Và $\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=60^{\circ}$.

Vậy $\angle BAC=60^{\circ}$

Cả 2 lời giải đều thiếu 1 TH là $\angle BAC=120^o$ vẫn thỏa đề.

[tuannguyenhue1]

có thỏa mãn đâu 

[perfectstrong]

có thỏa mãn đâu 

Sao lại không?

Nếu $\angle BAC=120^o$ thì $\angle BOC=2(180^o-\angle BAC)=120^o \Rightarrow \angle BOF=60^o$ với $F$ là trung điểm $BC$.

Cho nên $OA=OB=2OF=AH$.

[tuannguyenhue1]

uh.đúng rồi thế thì cũng có thể xét 2 TH góc A tù và nhọn chắc cũng ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuannguyenhue1: 31-05-2013 - 09:09

[whatever2507]

Cả 2 lời giải đều thiếu 1 TH là $\angle BAC=120^o$ vẫn thỏa đề.

Đúng rồi với TH $\bigtriangleup ABC$ tù tại $A$ thì $AH=-acotA$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whatever2507: 31-05-2013 - 13:07