Chủ đề này có 6 trả lời

[ironman]

1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\tan ^{7}x + \cot ^{7}x - (\tan x+\cot x)$ với $x\in (0;\frac{\pi }{2})$.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P biết:

          P=$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}$ với $x,y\geq 0, x+y=1$

[ongngua97]

 

2) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P biết:

          P=$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}$ với $x,y\geq 0, x+y=1$

Ta có $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^{2}+y^{2}+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}=-2+\frac{6}{xy+2}$

Do đó $P\geq -2+\frac{6}{(\frac{x+y}{2})^{2}+2}= \frac{2}{3}$

          $P\leq -2+\frac{6}{0+2}= 1$ (do $xy\geq 0$

[25 minutes]

1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\tan ^{7}x + \cot ^{7}x - (\tan x+\cot x)$ với $x\in (0;\frac{\pi }{2})$.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P biết:

          P=$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}$ với $x,y\geq 0, x+y=1$

1;Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\tan x\\b= \tan y \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a,b>0\\ab=1 \end{matrix}\right.$

Áp dụng AM-GM ta có $a^7+6 \geq 7a, b^7+6 \geq 7b$

$\Rightarrow a^7+b^7+12 \geq 7(a+b)$

$\Rightarrow a^7+b^7-(a+b) \geq 6(a+b)-12 \geq 6.2\sqrt{ab}-12=0$

Do đó $\tan^7 x+ \tan ^7 y -(\tan x + \tan y) \geq 0$

2; Ta có $\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1} =\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\geq \frac{(x+y)^2}{2xy+x+y} \geq \frac{(x+y)^2}{\frac{(x+y)^2}{2}+x+y}=\frac{2}{3}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Ta sẽ chứng minh $P \leq 1\Leftrightarrow x^2+x+y^2+y \leq 1+x+y+xy$

              $\Leftrightarrow x^2+y^2 \leq 1+xy$

Nhưng bđt trên luôn đúng do $a,b \in \left [ 0;1 \right ]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+xy \geq x+y\\x+y \geq x^2+y^2 \end{matrix}\right.$

Dấu = xảy ra khi $(x;y)=(0;1)$ và hoán vị

[ongngua97]

1;Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\tan x\\b= \tan y \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a,b>0\\ab=1 \end{matrix}\right.$

Áp dụng AM-GM ta có $a^7+6 \geq 7a, b^7+6 \geq 7b$

$\Rightarrow a^7+b^7+12 \geq 7(a+b)$

$\Rightarrow a^7+b^7-(a+b) \geq 6(a+b)-12 \geq 6.2\sqrt{ab}-12=0$

Do đó $\tan^7 x+ \tan ^7 y -(\tan x + \tan y) \geq 0$

 

 

Nhưng đề yêu cầu tìm GTLN mà

[25 minutes]

Nhưng đề yêu cầu tìm GTLN mà

Đặt $y=f(x)=x^7+\frac{1}{x^7}-\frac{1}{x}-x$

Ta có $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$

Do đó $f(x)$ không tồn tại GTLN

[ironman]

Đặt $y=f(x)=x^7+\frac{1}{x^7}-\frac{1}{x}-x$
Ta có $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$
Do đó $f(x)$ không tồn tại GTLN

Nhưng ở đây với x∈(0;π/2) mà

[25 minutes]

Nhưng ở đây với x∈(0;π/2) mà

Ô, $x \in (0;\frac{\pi}{2})$ thì $\tan x$ đâu có giới hạn gì đâu