Chủ đề này có 1 trả lời

[Queenteen]

Giải bất phương trình: $\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1-\sqrt{3} \right)x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)x+2}\le 3\sqrt{2}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-05-2013 - 12:41

[nguyenthehoan]

Giải bất phương trình: $\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1-\sqrt{3} \right)x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)x+2}\le 3\sqrt{2}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}.$

Xét biểu thức

 

$P=\sqrt{x^{2}+(1-\sqrt{3})x+2}+\sqrt{x^{2}+(1+\sqrt{3})x+2}+\sqrt{x^{2}-2x+2}$

 

$=\sqrt{(x+\frac{1-\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^{2}}+\sqrt{(x+\frac{1+\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+1}$

 

Theo bất đẳng thức Minscopski:

 

$=\sqrt{(x+\frac{1-\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^{2}}+\sqrt{(x+\frac{1+\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^{2}}\geq \sqrt{(x+1-\sqrt{3})^{2}+(x+1+\sqrt{3})^{2}}$

 

Và $((x+1-\sqrt{3})^{2}+(x+1+\sqrt{3})^{2})((1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2})\geq (2x+8)^{2}$  (bất đẳng thức bunhia)

 

Vậy $P\geq \frac{|2x+8|}{\sqrt{8}}+\sqrt{(x-1)^{2}+1}\geq \frac{|x+4|}{\sqrt{2}}+\frac{|x-1|+1}{\sqrt{2}}$ (bất đẳng thức cosi)

 

Mà $|x+4|+|x-1|=|x+4|+|1-x|\geq 5$

 

Do đó $P\geq \frac{5+1}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$

 

Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$