Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Bài 1. Cho $x$ là số thực sao cho $x^3$ và $x^2+x$ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng $x$ là số hữu tỉ.

 

(Macedonian JBMO TST 2013)

[whatever2507]

Do $x^2+x$ và $x^3\in \mathbb{Q}$ nên $\frac{x^2+x}{x^3}\in \mathbb{Q}$ hay $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}\in \mathbb{Q}$. Do đó $(x^2+x)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x})\in \mathbb{Q}$ hay $x+\frac{1}{x} \in \mathbb{Q}$ suy ra $x^3(x+\frac{1}{x}) \in \mathbb{Q}$ hay $x^4+x^2\in \mathbb{Q} \Rightarrow (x^4+x^2)-(x^2+x) \in \mathbb{Q} \Rightarrow x^3(x-1) \in \mathbb{Q}$ mà $x^3\in \mathbb{Q}$ nên $x\in \mathbb{Q}$  Q.E.D

 

P/s: Quên mất $x=0$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whatever2507: 27-05-2013 - 15:40

[DarkBlood]

Bài 1. Cho $x$ là số thực sao cho $x^3$ và $x^2+x$ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng $x$ là số hữu tỉ.

 

(Macedonian JBMO TST 2013)

Trường hợp 1: $x=0$

 

Ta có điều phải chứng minh.

 

Trường hợp 2: $x\neq 0$

 

Vì $x^3$ và $x^2+x$ là số hữu tỉ

 

Nên $x^3=\dfrac{m}{n}\ \left (m,\ n\in \mathbb{Z}\ ;\ n\neq 0\ ;\ gcd(m;n)=1 \right )$ và $x^2+x=\dfrac{a}{b}\ \left (a,\ b\in \mathbb{Z}\ ;\ b\neq 0\ ;\ gcd(a;b)=1 \right )$

 

Ta có: $x^2+x=\dfrac{a}{b} \Rightarrow x^3+x^2+x=\dfrac{a}{b}x+x$ $\left (x\neq 0 \right )$

 

Do đó $\dfrac{m}{n}+\dfrac{a}{b}=\left ( \dfrac{a}{b}+1 \right )x$

 

Suy ra $x=\dfrac{\dfrac{m}{n}+\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}+1}\ \in\ \mathbb{Q}$

 

Vậy $x$ là số hữu tỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 27-05-2013 - 06:36