Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh tổng diện tích hai tứ giác $PQQ_1P_1$ và $PQQ_2P_2$ không phụ thuộc vào vị trí hai điểm $P,Q$ trên $BC$.

jbmo tst 2013

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ cố định, và cạnh $PQ=t$ không đổi nằm trên $ BC$ sao cho $P$ nằm giữa $ B$ và $ Q$, $ Q$ nằm giữa $P$ và $ C$. Từ $ Q$ lần lượt kẻ $ QQ_1 \parallel AB, QQ_2 \parallel AC$ với $ Q_1 \in AC, Q_2 \in AB$. Tương tự từ $P$ cũng kẻ các đường $ PP_1 \parallel AB, PP_2 \parallel AC$ với $P_1 \in AC, P_2 \in AB$. Chứng minh tổng diện tích hai tứ giác $PQQ_1P_1$ và $PQQ_2P_2$ không phụ thuộc vào vị trí hai điểm $P,Q$ trên $BC$.

(Macedonian JBMO TST 2013)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-05-2013 - 19:44

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ cố định, và cạnh $PQ=t$ không đổi nằm trên $ BC$ sao cho $P$ nằm giữa $ B$ và $ Q$, $ Q$ nằm giữa $P$ và $ C$. Từ $ Q$ lần lượt kẻ $ QQ_1 \parallel AB, QQ_2 \parallel AC$ với $ Q_1 \in AC, Q_2 \in AB$. Tương tự từ $P$ cũng kẻ các đường $ PP_1 \parallel AB, PP_2 \parallel AC$ với $P_1 \in AC, P_2 \in AB$. Chứng minh tổng diện tích hai tứ giác $PQQ_1P_1$ và $PQQ_2P_2$ không phụ thuộc vào vị trí hai điểm $P,Q$ trên $BC$.

(Macedonian JBMO TST 2013)

Ta có $\bigtriangleup CPP_1\sim \bigtriangleup CQQ_1\sim \bigtriangleup BQQ_2\sim \bigtriangleup BPP_2\sim \bigtriangleup ABC\ \left (  \textrm{g.g}  \right )$

 

Do đó $\dfrac{S_{CPP_1}}{S_{ABC}}=\dfrac{CP^2}{BC^2}\ \ ;\ \ \dfrac{S_{CQQ_1}}{S_{ABC}}=\dfrac{CQ^2}{BC^2}\ \ ;\ \ \dfrac{S_{BQQ_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{BQ^2}{BC^2}\ \ ;\ \ \dfrac{S_{BPP_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{BP^2}{BC^2}$

 

$\Rightarrow \dfrac{S_{CQQ_1}-S_{CPP_1}}{S_{ABC}}=\dfrac{CQ^2-CP^2}{BC^2}\ \ ;\ \ \dfrac{S_{BPP_2}-S_{BQQ_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{BP^2-BQ^2}{BC^2}$

 

$\Rightarrow \dfrac{S_{PQQ_1P_1}}{S_{ABC}}=\dfrac{t\ (CQ+CP)}{BC^2}\ \ ;\ \ \dfrac{S_{PQQ_2P_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{t\ (BP+BQ)}{BC^2}$

 

$\Rightarrow \dfrac{S_{PQQ_1P_1}+S_{PQQ_2P_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{t\ (CQ+CP+BP+BQ)}{BC^2}=\dfrac{2t}{BC}$

 

$\Rightarrow S_{PQQ_1P_1}+S_{PQQ_2P_2}=\dfrac{2t}{BC}\cdot S_{ABC}$

 

Vì tam giác $ABC$ cố định nên $S_{ABC}$ và $BC$ cố định, mặt khác $t$ không đổi do đó $S_{PQQ_1P_1}+S_{PQQ_2P_2}=\dfrac{2t}{BC}\cdot S_{ABC}$ lhông đổi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 26-05-2013 - 23:55






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: jbmo tst, 2013

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh