Chủ đề này có 3 trả lời

[Zaraki]

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2} \left( \sqrt{a}\ +\sqrt{b}\ + \sqrt{c} \right) +\frac{1}{1+a}\ + \frac{1}{1+b}\ + \frac{1}{1+c}\ge\ 3 $$

(Macedonian JBMO TST 2013)

 

[nthoangcute]

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2} \left( \sqrt{a}\ +\sqrt{b}\ + \sqrt{c} \right) +\frac{1}{1+a}\ + \frac{1}{1+b}\ + \frac{1}{1+c}\ge\ 3 $$

(Macedonian JBMO TST 2013)

Ta có:
$$\dfrac{\sqrt{a}}{2}+\frac{1}{a+1}-1 \geq 0$$ với mọi $a>0$
Chứng minh tương tự với $b,c$ ta có đpcm

[etucgnaohtn]

Vậy giả thiết của Jinbe là thừa rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 26-05-2013 - 21:24

[duc12116]

Cái giả thiết chỉ là bù nhìn thôi. Đâu tiên ta có :
\[\frac{1}{2}(\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c ) \ge \frac{3}{2}\]

Tiếp theo:
\[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} \ge \frac{3}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}} = \frac{3}{2}\]

Thế là xong! Cái bất đẳng thức phụ thứ hai là được suy ra từ bất đẳng thức phụ sau:
\[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}\]

P/S: cais mathtype cua em co van de mong moij nguoi thu loi!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duc12116: 27-05-2013 - 20:44