3.Lớp hàm: $g(x) = x^3 + ax + bx +c$
Ta có: $g(x) – d = x^3 +ax^2 +bx +c -d $
Mục đich, ta cần chọn a,b, c,d sao cho:
$ x^3+ ax^2 + bx + c – d = (x - d)^3 = (x^3 - 3dx^2 + 3dx^2 – d^3)$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a = -3d \\ b = 3d^2 \\ c – d = -d^3\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = - 3d \\ b = 3d^2 \\ c = d – d^3\end{matrix}\right.$.
Chọn d = 1 ta được b = 3,a = -3, c = 0, khi đó ta được dãy số $(x_n)$ thỏa mãn hệ thức truy hồi : $x_{n+1}= x_n^3 – 3x^2+3x_n, \forall n \in \mathbb{N } $.Tuy vậy bài toán sẽ trở nên khó hơn nếu ta thực hiện đổi biến bằng cách đặt $x_n = 5u_n$.Khi đó dãy số $(u_n)$ thỏa mãn hệ thức truy hồi sau: $u_{n+1} =25u_n^3 -15 u_n^2 +3u_n$.Ta có bài toán sau:
Bài toán 4: Cho dãy số $(u _n)$ được xác định bởi hệ thức truy hồi sau:
$\left\{\begin{matrix} u_1 = \alpha \in \mathbb{R} \\ u_{n+1} = 25u_n^3 - 15u_n^2 + 3u_n, \forall n \in \mathbb{N^*}\end{matrix}\right.$
Giải:
Đặt $ u_n = \frac{x_n}{5}$. Khi đó dãy số $(x_n)$ thỏa mãn hệ thức truy hồi sau:
$\left\{\begin{matrix} x_1 = 5\alpha \in \mathbb{R} \\ x_{n+1} = x_n^3 - 3x_n^2 + 3x_n\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x_{n+1} - 1 = (x_n - 1)^3$.
Do đó:
$ x_n -1= (x_{n - 1} - 1)^3 = (x_{n -2}-1)^{3^2}= … = (x_1-1)^{3^{n-1}}= (5 \alpha - 1)^ {3^{n - 1}}$
Vậy số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là:
$\frac{(5\alpha)^{3^{n-1}}+1}{5},\forall n \in \mathbb{N^* } $
Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:
$\left\{\begin{matrix} u_0 = \alpha \in \mathbb{R} \\ x_{n+1} =\frac {1}{4}.u_n^3 , \forall n \in \mathbb{N } \end{matrix}\right. $
Giải:
Ta có: $u_n = \frac {1}{4} .u_{n-1}^3$
$\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{4} u_{n-2}^{3}\right )^{3}$
$=\frac{1}{4^{1+3}}u_{n-2}^{3^{2}}=\frac{1}{4^{1+3}}\left( \frac{1}{4} u_{n-3}^{3}\right )^{3^{2}}$
$=\frac {1}{4^{1+3+3^2}}u_{n - 3}^{3^3}=… =\frac {1}{4^{1+3+3^2+…+3^{n-1}}}u_{0}^{3^{n}}$
$ = \frac{u_0^{3^n}}{4^{\frac{1- 3^n}{2}}}= 2^{1- 3 ^n}\alpha ^{3^n},\forall n \in \mathbb{N}$
Chú ý:
Nếu ta gặp hàm đa thức bậc ba $f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d$ thì ta dời gốc tọa độ về điểm uốn $A\left ( \frac{-b}{2a} ;f\left ( -\frac{b}{3a} \right )\right )$ của đồ thị hàm số $f(x)$ tức là ta đổi biến $X = x+ \frac {b}{4a}$.(1)
Bài toán 6: Tìm công thức tổng quát của dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi sau:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}=\alpha \\ x_{n+1}=ax_n^3 +bx^2 +cx_n +d, \forall n \in \mathbb{N^*} \left ( a> 0,c=\frac{b^2}{3a},d= \frac{b\left ( c -3 \right )}{9a} \right ) \end{matrix}\right. $
Giải:
Từ chú ý trên gợi cho ta cách đặt: $y_n = x_n + \frac{b}{3a}$, thay vào (1) ta được:
$y_{n+1}- \frac{b}{3a}= a \left ( y_n -\frac{b}{3a} \right )^3 + b\left (y_n - \frac{b}{3a} \right ) ^2+ c.\left ( y_n -\frac{b}{3a} \right ) +d $
$ = \left ( ay_n^3 – by_n^2 +\frac{b^2}{3a}y_n - \frac{b^3}{27a^2} \right ) + by_n^2 -\frac{2b^2}{3a}y_n +\frac{b^3}{9a^2}+ cy_n - \frac{bc}{3a} + d$
$ = \left ( ay_n^3 – by_n^2 +\frac{b^2}{3a}y_n - \frac{b^3}{27a^2} \right ) + by_n^2 -\frac{2b^2}{3a}y_n +\frac{b^3}{9a^2}+ \frac{b^2}{3a}y_n - \frac{b}{3a}.\frac{b^2}{3a} + \frac{b(c - 3)}{9a}$
$= \left ( ay_n^3 - \frac{b^3}{27a^2}\right )+\frac{b(c- 3)}{9a}$
$ =\left ( ay_n^3 - \frac{b^3}{27a^2}\right )+\frac{b\left (\frac{b^2 }{3a} - 3\right)}{9a} = ay_n^3 \frac{b}{3a} = ay_n^3 - \frac{b}{3a}$
Suy ra: $y_{n+1}= ay_n^3, \forall n \in \mathbb{N^*}$
Do đó:
$y_n = ay_{n-1}^3 = a( ay_{n-2}^3 )^3 = a^{1+3} ay_{n-2}^{3^2} = a^{1+3}( ay_{n-3}^3)^{3^2} = a^{1+3+3^2} y_{n-3}^{3^3}=… = a^{1+3+3^2+…+ 3^{n-2}}y_1^{3^{n-1}}$
$ = a^{\frac{1- 3^{n -1}}{1 -3}} y_1^{3^{n-1}}$
$ = a^{\frac{1- 3^{n -1}}{1 -3}}\left ( \alpha + \frac{b}{3a}\right )$
Vậy $x_n = a^{\frac{1- 3^{n -1}}{1 -3}}\left ( \alpha + \frac{b}{3a}\right) $
4.Lớp hàm $g(x) = \frac{ax}{b+c^2x^2}$.
Ta có: $d – g(x) = d – \frac{ax}{b+ c^2x^2} = \frac{ax}{b+c^2x^2} = \frac{bd – ac + dc^2x^2}{b+c^2x^2}$
Mục đích:
Ta cần chon a, b, c, d sao cho:
$bd- ac+dc^2x^2 = (d - x)^2 = d^2- 2dx + x^2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}bd = d^2\\ a = 2d\\dc^2 = 1\end{matrix}\right. $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b = d \\ a = 2d\\c^2 = \frac{1}{d}\end{matrix}\right. $
Chọn d= 2,ta được: $b= 2, a= 4, c^2 =\frac{1}{2}$ và $g(x) =\frac{4x}{2+\frac{x^2}{2}} = \frac{8x}{4+x^2}$.
Khi đó ta có bài toán sau:
Bài toán 7: Xác định số hạng tổng quát của dãy số$(x_n)$ được xác định bởi hệ thức truy hồi sau:
$\left\{\begin{matrix} x_1 = \alpha \in \mathbb{R} \\ x_{n+1} =\frac {8x_n}{4+x_n^2} , \forall n \in\mathbb{N^* } \end{matrix}\right.$
Giải:
Nếu $\alpha = - 2$ thì $x_{n}= - 2,\forall n\in \mathbb{N^*}$
Nếu $\alpha \neq -2$.Ta có:
$2- x_n = 2-\frac{8x_{n-1}}{4+x_{n-1}^2}= \frac{2x_{n-1}^2 – 8x_{n-1}+8}{4+x_{n-1}^2} = \frac{2(2- x_{n-1})^2}{4+x_{n-1}^2}$ (1)
$2 + x_n = 2 + \frac{8x_{n-1}}{4+x_{n-1}^2}= \frac{2x_{n-1}^2 + 8x_{n-1}+8}{4+x_{n-1}^2} = \frac{2(2+ x_{n-1})^2}{4+x_{n-1}^2}$ (2)
Xét hàm số: $\frac{2 - x}{2 + x}$.Từ (1) và (2) ta có:
$f(x) = \frac{2-x}{2+x} = \left ( \frac{2-x_{n-1}}{2+x_{n-1}} \right )^{2}=\left [ f(x_{n-1}) \right ]^{2}=\left [ f(x_{n-2}) \right ]^{2^{2}}=...=\left [ f(x_1) \right ]^{2^{n-1}}=\left [ f(\alpha ) \right ]^{2^{n-1}}$ (3)
Đặt $\beta =\left [ f(\alpha ) \right ]^{2^{n-1}}$.Từ (3) ta có:
$\frac{2- x_n}{2+x_n}=\beta$
$\Leftrightarrow 2- x_{n}=2\beta +\beta x_{n} \Leftrightarrow x_{n}=\frac{2-2\beta }{1+\beta }$
Vậy:
Nếu $\alpha = -2$ thì $x_{n}= - 2,\forall n\in \mathbb{N^*}$
Nếu: $\alpha \neq -2$ thì
$x_n = \frac{2\left [ 1-\left ( \frac{2-\alpha }{2+\alpha } \right ) ^{2^{n-1}}\right ]}{1+\left ( \frac{2-\alpha }{2+\alpha } \right ) ^{2^{n-1}}},\forall n\in \mathbb{N}^*$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 30-05-2013 - 21:49