Chủ đề này có 9 trả lời

[hoaadc08]

Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa :   $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức :

                        $P = \frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}$

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 28-05-2013 - 21:13

[Nguyen Duc Thuan]

Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa :   $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức :

                        $P = \frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}$

Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a+b+c\leq 3$

Áp dụng BĐT Schawrz: $P\geq \frac{9}{27-5(a+b+c)}\geq \frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

Vậy MIN(P)=3/4 khi a=b=c=1

 

 

(BÀI NÀY EM BỊ NGƯỢC DẤU! NHỜ MOD XÓA GIÚP)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 28-05-2013 - 15:42

[hoaadc08]

Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a+b+c\leq 3$

Áp dụng BĐT Schawrz: $P\geq \frac{9}{27-5(a+b+c)}\geq \frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

Vậy MIN(P)=3/4 khi a=b=c=1

 

 

(BÀI NÀY EM BỊ NGƯỢC DẤU! NHỜ MOD XÓA GIÚP)

 

[hoaadc08]

Bài này tôi cũng gặp trở ngại " ngược dấu " như trên !

Bài không dễ !

Các bạn giúp thêm ý kiến .

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Ta chứng minh bất đẳng thức : $\frac{1}{9-5a} \geq \frac{5a^2+3}{32}$ $\forall 0<a<\sqrt{3}$

Thật vậy chứng minh bằng biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với : $(25a+5)(a-1)^2 \geq 0$ 

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=1$ 

Lập các bất đẳng thức tương tự với b,c . 

Ta có $P_{min} = \frac{3}{4}$ khi $a=b=c=1$ 

[ongngua97]

Ta chứng minh bất đẳng thức : $\frac{1}{9-5a} \geq \frac{5a^2+3}{32}$ $\forall 0<a<\sqrt{3}$

Thật vậy chứng minh bằng biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với : $(25a+5)(a-1)^2 \geq 0$ 

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=1$ 

Lập các bất đẳng thức tương tự với b,c . 

Ta có $P_{min} = \frac{3}{4}$ khi $a=b=c=1$ 

Làm sao nghĩ ra BĐT như vậy hả bạn.

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Làm sao nghĩ ra BĐT như vậy hả bạn.

Cái này gọi là phương pháp tiếp tuyến đấy bạn . google search nha . 

[ongngua97]

Cảm ơn bạn nha.

MÌnh up lên cho các bạn tham khảo.

File gửi kèm

•  chuyendetieptuyentrongviecchungminhbatdangthuc.pdf   644.37K   1024 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 28-05-2013 - 20:18

[thanhdotk14]

Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa :   $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức :

                        $P = \frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}$

 

 

Cách khác:

Ta viết lại $P$ như sau:

$$P=\frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}$$

$$=\frac{243-90\left ( a+b+c \right )+25\left ( ab+bc+ca \right )}{729-405\left ( a+b+c \right )+225\left ( ab+bc+ca \right )-125abc}$$

Đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$

$\Rightarrow p^2-2q=3$ và $p\le 3$

Khi đó $P$ trở thành:

$$P=\frac{243-90p+25q}{729-405p+225q-125r}$$

$$=\frac{243-90p+25\frac{p^2-3}{2}}{729-405p+225\frac{p^2-3}{2}-125r}$$

Ta cần chứng minh

$$P\ge \frac{3}{4}$$

$$\Leftrightarrow 4\left ( 243-90p+25\frac{p^2-3}{2} \right )-3\left ( 729-405p+225\frac{p^2-3}{2}-125r \right )\ge 0$$

$$\Leftrightarrow-\frac{575}{2}p^2+855p-\frac{705}{2}+375r\geq 0(1)$$

Theo bất đẳng thức schur, ta có:

$$r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{p(p^2-6)}{9}$$

Khi đó ta có:

$$(1)\Leftrightarrow \frac{125}{3}p^3-\frac{575}{2}p^2+605p-\frac{705}{2}\geq 0(2)$$

Đặt:$VT(2)=f(p)$, $0<p\leq 3$

Dễ dàng thấy: $f'(p)<0$ với $p\in\left ( 0;3 \right ]$

$\Rightarrow$ Hàm $f$ nghịch biến trên $(0;3]$

Do đó:

$f\left ( p \right )\geq f\left ( 3 \right )=0$

Từ đó ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow p=3 \Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 29-05-2013 - 07:29

[Zaraki]

Làm sao nghĩ ra BĐT như vậy hả bạn.

PP. Ta có thể sử dụng tham số để đưa ra BĐT như thế: Giả sử tồn tại $x,y$ để $\frac{1}{9-5a} \ge xa^2+y \qquad (1)$.

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=1$, khi đó thay vào $(1)$ thì ta được $x+y= \frac 14 \Leftrightarrow y= \frac 14 -x$.

Thay $y$ vào $(1)$ ta được

$$\begin{aligned} \frac{1}{9-5a} \ge xa^2+ \frac 14-x & \Leftrightarrow 1-(9-5a) \left( xa^2+ \frac 14-x \right) \ge 0 \\ & \Leftrightarrow 1 +5xa^3- 9xa^2 + \left( \frac 54-5x \right) a +9x - \frac 94  \ge 0 \\ & \Leftrightarrow (a-1) \left( 5xa^2-4xa-9x+ \frac 54 \right) \ge 0 \end{aligned}$$

Vì dấu bằng xảy ra khi $a=1$ nên BĐT $(1)$ sau khi biến đổi tương đương phải có nhân tử $(a-1)^2$.

Ta suy ra $5xa^2-4xa-9x+ \frac 54$ phải có nhân tử $a-1$.

Do đó thì $5x-4x-9x+ \frac 54 =0 \Leftrightarrow x= \frac{5}{32} \Rightarrow y= \frac{3}{32}$.

 

Như vậy $\frac{1}{9-5a} \ge \frac{5a^2+3}{32}$.