Chủ đề này có 3 trả lời

[hieu_pct]

 Cho Parabol $(P):y=\frac{-x^{2}}{4}$ và đường thẳng$(d):y=mx-2$.

a/CM: (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b/Gọi giao điểm của (P) và (d) là$A(x_{A};y_{a})$ và$B(x_{B};y_{B})$.Tìm m để AB ngắn nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

 

[donghaidhtt]

 Cho Parabol $(P):y=\frac{-x^{2}}{4}$ và đường thẳng$(d):y=mx-2$.

a/CM: (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b/Gọi giao điểm của (P) và (d) là$A(x_{A};y_{a})$ và$B(x_{B};y_{B})$.Tìm m để AB ngắn nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

a)

Xét pt hoành độ giao điểm: $\frac{-x^2}{4}=mx-2\Leftrightarrow x^2+4mx-8=0$

Xét: $\Delta ^{'}=4m^2+8> 0\forall m\in \mathbb{R}$

Nên pt này luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Nên (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

b)

Xét: $AB^2=(x_{A}-x_{B})^2+(y_{A}-y_{B})^2=(x_{A}+x_{B})^2-4x_{A}x_{B}+(\frac{-x_{A}^2}{4}-(-\frac{x^2_{B}}{4}))^2=(x_{A}+x_{B})^2-4x_{A}x_{B}+\frac{(x_{A}+x_{B})^2((x_{A}+x_{B})^2-4x_{A}x_{B})}{16}$

Theo Viète ta có: $x_{A}+x_{B}=-4m$

$x_{A}x_{B}=-8$ 

Thay vào: $AB^2=AB^2=(x_{A}+x_{B})^2-4x_{A}x_{B}+\frac{(x_{A}+x_{B})^2((x_{A}+x_{B})^2-4x_{A}x_{B})}{16}=16m^2+32+\frac{16m^2(16m^2+32)}{16}=16m^4+48m^2+32=16(m^2+2)(m^2+1)\geq 16.2.1=32\Leftrightarrow AB\geq 4\sqrt{2}$

Vậy $AB$ nhỏ nhất bằng $4\sqrt{2}$ khi $m=0$

[mathprovn]

Lời giải sẽ đẹp hơn nếu tính $y_A - y_B = m(x_A - x_B)$

Khi đó: $AB^2 = (x_A - x_B)^2 (1 + m^2) = [(x_A + x_B)^2 - 4x_Ax_B](1 + m^2) = (16m^2 + 32)(m^2 + 1) \geq 32$

Suy ra: $AB \geq 4\sqrt{2}$

[ntt19981812]

ở cái dòng tính AB$^{2}$ ,sao lại là $(x_{1}-x_{2})^{2}$ , mình tưởng dùng pitago fai là $(x_{1}+x_{2})^{2}$ chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntt19981812: 06-06-2013 - 22:20