Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề toán chuyên tuyển sinh vào lớp 10 trường PTNK tp HCM năm 2011


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 phuocthinh02

phuocthinh02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thống Nhất A
  • Sở thích:Học toán, nghe nhạc, chơi game,...

Đã gửi 28-05-2013 - 22:50

Câu 1 : Cho pt bậc hai $x^{2}-(m+3)x+m^{2}=0$, trong đó $m$ là tham số sao cho pt có $2$ nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ 

a) Khi $m=1$, chứng minh rằng ta có hệ thức $\sqrt[8]{x_{1}}+\sqrt[8]{x_{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}$

b) Tìm tất cả các giá trị $m$ sao cho $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}=\sqrt{5}$

c) Xét đa thức $P(x)=x^{3}+ ax^{^{2}}+bx$. Tìm tất cả các cặp số $(a,b)$ sao cho ta có hệ thức $P(x_{1})=P(x_{2})$ với mọi giá trị của tham số $m$

 

Câu 2: 

1) Cho $a,b$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}{1+ab}$

 

2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $\left | x \right |\leq 1, \left | y \right |\leq 1,\left | z \right |\leq 1$. CMR ta có bất đẳng thức $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}$

 

Câu 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB=b$,$AC=c$, $M$ là một điểm thay đổi trên cạnh $AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMC$ cắt cạnh $AC$ tại $N$.

a) CM tam giác $AMN$ đồng dạng với tam giác $ACB$. Tính tỷ số $\frac{MA}{MB}$ để diện tích tam giác $AMN$ bằng một nửa diện tích tam giác $ACB$

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. CM $I$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

c) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMC$. CMR độ dài $IJ$ không đổi.

 

Câu 4: Cho $a,b,c$ là các số nguyên sao cho $2a+b,2b+c,2c+a$ đều là các số chính phương $(*)$

a) Biết rằng có ít nhất một trong ba số chính phương nói trên chia hết cho $3$. CMR tích $(a-b)(b-c)(c-a)$ chia hết cho $27$

b) Tồn tại hay không các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $(*)$ sao cho $(a-b)(b-c)(c-a)$ không chia hết cho $27$?

 

 

Câu 5: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$,$BC=4$

a) CMR từ $7$ điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật $ABCD$ luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $\sqrt{5}$

b) CMR khẳng định ở câu a) vẫn còn đúng với $6$ điểm bất kỳ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$

 

 

Mọi người cùng nhau giải đề này nhé!! Khó đấy  :like  :like  :like  :like 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocthinh02: 28-05-2013 - 22:59

:botay  :rolleyes:  Được voi đòi.....Hai Bà Trưng :rolleyes:   :botay 


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-05-2013 - 23:03

2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $\left | x \right |\leq 1, \left | y \right |\leq 1,\left | z \right |\leq 1$. CMR ta có bất đẳng thức $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}$

Bình phương hai vế (hai vế không âm), ta cần chứng minh :

$3-(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}+2\sqrt{(1-x^{2})(1-z^{2})}+2\sqrt{(1-z^{2})(1-y^{2})}\leq 9-(x+y+z)^{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}+2\sqrt{(1-y^{2})(1-z^{2})}+2\sqrt{(1-z^{2})(1-x^{2})}\leq 6-2(xy+yz+zx)$

 

Thật vậy, áp dụng Cô-si :

$2\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}\leq (1-x^{2})+(1-y^{2})=2-(x^{2}+y^{2})$

Xây dựng 2 BĐT tương tự và cộng chúng lại theo từng vế : 

$2\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}+2\sqrt{(1-x^{2})(1-z^{2})}+2\sqrt{(1-y^{2})(1-z^{2})}\leq 6-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq 6-2(xy+yz+zx)$

 

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

Như vậy ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-05-2013 - 23:04

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-05-2013 - 23:08

 

Câu 2: 

1) Cho $a,b$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}{1+ab}$

 

Áp dụng BĐT Cô-si :

$P=\frac{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}}}{1+ab}\geq \frac{\sqrt{1+2ab+a^{2}b^{2}}}{1+ab}=\frac{\sqrt{(1+ab)^{2}}}{1+ab}=1$

$MinP=1\Leftrightarrow a=b$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#4 QuynhTam

QuynhTam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phổ Thông Kăng Khiếu
  • Sở thích:Học toán, ăn, ngủ, chơi game, vẽ.

Đã gửi 20-04-2014 - 23:36

Câu 2: 

1) Cho $a,b$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}{1+ab}$

 

2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $\left | x \right |\leq 1, \left | y \right |\leq 1,\left | z \right |\leq 1$. CMR ta có bất đẳng thức $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}$

Cách khác nha:

1). Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được: $(a.b+1.1)^2\leqslant (a^2+1)(b^2+1)\\\Leftrightarrow (ab+1)\leqslant \left | ab+1 \right |\leqslant \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}$

=> $\frac{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}{ab+1}\geq 1$

2). Lại áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được:

 $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\leqslant \left | \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2} \right |\leqslant \sqrt{(1^2+1^2+1^2)(3-(x^2+y^2+z^2))}\Leftrightarrow VT\leq \sqrt{9-3(x^2+y^2+z^2)}$

Ta lại có :$x^2+y^2+z^2\geqslant\frac{(x+y+z)^2}{3}\\\Leftrightarrow -3(x^2+y^2+z^2)\leq -(x+y+z)^2\Leftrightarrow \sqrt{9-(x^2+y^2+z^2)}\leqslant \sqrt{9-(x+y+z)^2}$

=> đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuynhTam: 20-04-2014 - 23:49

  :ukliam2: Nếu muốn có được những thứ chưa từng có thì bạn phải làm những việc chưa từng làm.  :ukliam2: 


#5 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 01-05-2014 - 08:34

Câu 4
Đặt $\left\{\begin{matrix} 2a + b = x^{2}\\2b + c = y^{2} \\2c + a = z^{2} \end{matrix}\right.$ với x, y z là các số nguyên.
a) Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3(a + b + c) \vdots 3$, mà trong 3 số $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ có 1 số chia hết cho 3 nên tổng của 2 số chính phương còn lại cũng chia hết cho 3. Mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên cả 2 số chính phương này cùng chia hết cho 3.
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2a + b \vdots 3\\ 2b + c\vdots 3 \\ 2c + a \vdots 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a - b = 3a - (2a + b) \vdots 3\\b - c = 3b - (2b + c)\vdots 3 \\ c - a = 3c - (2c + a) \vdots 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow (a - b)(b - c)(c - a)\vdots 27$

b) Nếu trong 3 số x, y, z có 1 số chia hết cho 3 thì theo a) (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27.
Xét trường hợp cả x, y, z cùng không chia hết cho 3.
Từ $\left\{\begin{matrix} 2a + b = x^{2}\\2b + c = y^{2} \\2c + a = z^{2} \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a = \frac{4x^{2}-2y^{2}+z^{2}}{9}\\b = \frac{4y^{2}-2z^{2}+x^{2}}{9} \\c = \frac{4z^{2} - 2y^{2} + x^{2}}{9} \end{matrix}\right.$

Ta tìm x, y , z cùng không chia hết cho 3 sao cho $4x^{2} - 2y^{2} + z^{2}, 4y^{2} - 2z^{2} + x^{2}, 4z^{2} - 2x^{2} + y^{2}$ cùng chia hết cho 9.

Mà $4x^{2} - 2y^{2} + z^{2} \vdots 9 \Rightarrow 9x^{2} - 2.(4x^{2} - 2y^{2} + z^{2}) = 4y^{2} - 2z^{2} + x^{2} \vdots 9 \Rightarrow 9y^{2} - 2.(4y^{2} - 2z^{2} + x^{2}) = 4z^{2} - 2x^{2} + y^{2} \vdots 9$

nên ta chỉ cần tìm x, y, z không chia hết cho 3 sao cho $4x^{2} - 2y^2 + z^{2} \vdots 9$

 

Mà số chính phương không chia hết cho 3 thì chia 9 dư 1, 4 hoặc 7 nên ta có thể tìm được vô số x, y, z thỏa mãn.

Ví dụ với $x^{2}$ chia 9 dư 1, $y^{2}$ chia 9 dư 4, $z^{2}$ chia 9 dư 4 thì $4x^{2} - 2y^{2} + z^{2}$ chia hết cho 9.

Ví dụ với $\left\{\begin{matrix} x^{2} = 64\\ y^2 = 49 \\ z^{2} = 49 \end{matrix}\right.$ thì $\left\{\begin{matrix} a = \frac{256 - 98 + 49}{9} = 23\\b = \frac{4.49 - 98 + 64}{9} = 18 \\c = 4. 49 - 128 + 49 /9 = 13 \end{matrix}\right.$

ta có 2a + b, 2b + c, 2c + a là số chính phương nhưng (a - b)(b - c)(c - a) = 5. 5. (- 10) không chia hết cho 9.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 01-05-2014 - 08:48

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#6 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 02-05-2014 - 17:47

Câu 1

Phương trình $x^{2} - (m + 3)x + m^{2} = 0 (1)$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 3\\x_{1}x_{2} = m^{2} \end{matrix}\right.$

a) Khi m = 1 ta có $\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4\\x_{1}x_{2} = 1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}})^{2} = x_{1} + x_{2} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} = 4 + 2 = 6 \Rightarrow \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = \sqrt{6}$

 

$\Rightarrow (\sqrt[4]{x_{1}} + \sqrt[4]{x_{2}})^{2} = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} + 2\sqrt[4]{x_{1}x_{2}} = \sqrt{6} + 2 \Rightarrow \sqrt[4]{x_{1}} + \sqrt[4]{x_{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{6}}$

 

$\Rightarrow (\sqrt[8]{x_{1}} + \sqrt[8]{x_{2}})^{2} = \sqrt[4]{x_{1}} + \sqrt[4]{x_{2}} + 2\sqrt[4]{x_{1}x_{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{6}} + 2 \Rightarrow \sqrt[8]{x_{1}} + \sqrt[8]{x_{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{6}}}$

 

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta = (m + 3)^{2} - 4m^{2} > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 3 = (m + 1)(m - 3) < 0 \Leftrightarrow -1 < m < 3$ (2)

$\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} = 5$

$\Leftrightarrow m + 3 + 2\sqrt{m^{2}} = 5$ (3)

 

Nếu $m \geq 0$ thì từ (3) có 3m = 2 $\Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$ thỏa mãn (2).

Nếu m < 0 thì từ (3) có -m = 2 hay m = -2 không thỏa mãn (2)

 

Vậy $m = \frac{2}{3}$

 

c) $P(x_{1}) = P(x_{2}) \forall m \Leftrightarrow x_{1}^{3} + ax_{1}^{2} + bx_{1} = x_{2}^{3} + ax_{2}^{2} + bx_{2} \forall m$

$\Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + a.(x_{1} + x_{2}) + b = 0 \forall m$ (vì $x_{1} \neq x_{2}$)

$\Leftrightarrow (m + 3)^{2} - m^{2} + a(m + 3) + b = 0 \forall m \Leftrightarrow (a + 6)m + (3a + b + 9) = 0 \forall m$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a + 6 = 0\\3a + b + 9 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -6\\b = 9 \end{matrix}\right.$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 02-05-2014 - 17:55

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh