Chủ đề này có 32 trả lời

[vutuanhien]

Câu I:Xác định các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2013x^2-(m-2014)x-2015=0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $(\sqrt{x_{1}^2+2013}-x_{1})(\sqrt{x_{2}^2+2013}-x_{2})=2013$. Tìm 2 nghiệm đó

 

Câu II: (3 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $\dfrac{x-y}{x^2+xy+y^2}=\dfrac{19}{97}$

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}(x+y)z=\sqrt{xy}\\ (y+x)x=\sqrt{yz}\\ (z+x)y=\sqrt{zx}\end{matrix}\right.$

 

Câu III: (2,5 điểm)

1) Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên dương phân biệt sao cho $\frac{a.\sqrt{2013}-b}{c.\sqrt{2013}-a}$ là 1 số hữu tỉ. Chứng minh rằng $\frac{2a^3-b^3-c^3}{2a-b-c}$ là 1 số chính phương.

2) Cho các số $x,y$ cùng dấu. Chứng minh rắng $\left ( \frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4} \right )-\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\geq 2$

 

Câu IV: (1,5 điểm)

Cho $\Delta ABC$ nhọn và điểm $K$ trên cạnh $AC$ sao cho $AK=2KC$, $\angle ABK=2\angle KBC$ và $AB< BC$. Dưng đường tròn đường kính $AB$, cắt $BK$ tại $D$ và cắt $BC$ tại $E$. Chứng minh rắng $\Delta CDE$ là tam giác cân

 

Câu V: (1 điểm)

Các số nguyên dương từ $1$ đến $10$ được xếp ngẫu nhiên chung quanh một đường tròn. Chứng minh rằng trong $10$ số trên có ít nhất 3 số xếp liên tiếp mà tổng của chúng không nhỏ hơn $17$

Bài này mình bỏ mất câu hình. Cũng may các phần còn lại làm được hết. Không biết các bạn khác đi thi thế nào   
.

• Trả lời
   
•  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 29-05-2013 - 16:47

[trauvang97]

 

Câu I:Xác định các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2013x^2-(m-2014)x+2015$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $(\sqrt{x_{1}^2+2013}-x_{1})(\sqrt{x_{2}^2+2013}-x_{2})=2013$. Tìm 2 nghiệm đó

 

Nhân theo thứ tự các biểu thức liên hợp ta có:

 

$\sqrt{x^{2}_{2}+2013}-x_{2}=\sqrt{x^{2}_{1}+2013}+x_{1}$

 

$\sqrt{x^{2}_{1}+2013}-x_{1}=\sqrt{x^{2}_{2}+2013}+x_{2}$

 

Cộng vế với vế ta có: $x_{1}+x_{2}=0$ nên $m=2014$, do đó nghiệm $x_{1},x_{2}=\pm \sqrt{\frac{2015}{2013}}$

[Juliel]

Sao mấy trường chuyên ở ngoài Bắc lại có mấy cái vụ thi thử nhỉ ? Ở trong Nam sao chẳng thấy gì hết !

2) Cho các số $x,y$ cùng dấu. Chứng minh rắng $\left ( \frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4} \right )-\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\geq 2$

Ta luôn có $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ nên chỉ cần chứng minh $\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}\geq \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}$

Đặt $\frac{x^{2}}{y^{2}}=a\geq 0;\frac{y^{2}}{x^{2}}=b\geq 0$

Ta cần chứng minh $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})-2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\geq 0 \Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})-2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+2\geq 0\Leftrightarrow (\frac{a}{b}-1)^{2}+(\frac{b}{a}-1)^{2}\geq 0$

Điều này luôn đúng --> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-05-2013 - 10:45

[Juliel]

 

Câu III: (2,5 điểm)

1) Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên dương phân biệt sao cho $\frac{a.\sqrt{2013}-b}{c.\sqrt{2013}-a}$ là 1 số hữu tỉ. Chứng minh rằng $\frac{2a^3-b^3-c^3}{2a-b-c}$ là 1 số chính phương.

 

Bài III 1) ngộ ngộ thế nào ấy nhỉ :

$\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}=k\in Q\Rightarrow \sqrt{2013}(kc-a)=a-b$

Một vế vô tỉ, một vế hữu tỉ hai vế bằng nhau khi cùng bằng 0

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} kc=a & & \\ a=b& & \end{matrix}\right.$

Gỉa thiết : a,b,c phân biệt ??? 

 

Không biết mình lập luận có sơ hở gì không ? Ai giải bài này giùm mình đi !

[vutuanhien]

Bài III 1) ngộ ngộ thế nào ấy nhỉ :

$\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}=k\in Q\Rightarrow \sqrt{2013}(kc-a)=a-b$

Một vế vô tỉ, một vế hữu tỉ hai vế bằng nhau khi cùng bằng 0

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} kc=a & & \\ a=b& & \end{matrix}\right.$

Gỉa thiết : a,b,c phân biệt ??? 

 

Không biết mình lập luận có sơ hở gì không ? Ai giải bài này giùm mình đi !

Vế phải là $ka-b$ mà bạn  . 

[Juliel]

 

Câu V: (1 điểm)

Các số nguyên dương từ $1$ đến $10$ được xếp ngẫu nhiên chung quanh một đường tròn. Chứng minh rằng trong $10$ số trên có ít nhất 3 số xếp liên tiếp mà tổng của chúng không nhỏ hơn $17$

 

Gỉa sử vị trí của 10 số trên đường tròn là :

a,b,c,d,e,f,g,h,i,k

Các bộ ba số liên tiếp là (a;b;c) ; (b;c;d) ; ....;(h;i;k) ; (i;k;a) ; (k;a;b)

(tổng cộng có 10 bộ)

Tổng các số trong 10 bộ trên  : $3.\sum_{i=1}^{10}i=165$

Theo Dirichlet thì tồn tại một bộ có tổng ba số trong bộ không nhỏ hơn $\left [ \frac{165}{10} \right ]+1=17$ (đpcm)

[vutuanhien]

Câu III phần 1 mình làm như thế này:

Đặt $\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}=x$

$\Rightarrow a(\sqrt{2013}+x)=cx\sqrt{2013}+b\Rightarrow a^2(2013+2\sqrt{2013}x+x^2)=2013c^2x^2+2cbx\sqrt{2013}+b^2\Rightarrow 2\sqrt{2013}x(a^2-bc)+2013a^2+a^2x^2-2013c^2x^2-b^2=0$

(1)

$\Rightarrow 2\sqrt{2013}x(a^2-bc)\in \mathbb{Q}\Rightarrow a^2-bc=0$ (vì nếu $x=0$ thì $a\sqrt{2013}=b$ (vô lí). Thay $a^2=bc$ vào(1) rồi phân tích thành nhân tử, ta có $(2013c-b)(b-cx^2)=0\Rightarrow b=cx^2$  (vì nếu $2013c=b$ thì $a=\sqrt{bc}=\sqrt{2013}c$ (vô lí). Từ đó ta có $a=cx$. Suy ra $\frac{2a^3-b^3-c^3}{2a-b-c}=\frac{2c^3x^3-c^3x^6-c^3}{2cx-cx^2-c}=\frac{c^2(2x^3-x^6-1)}{2x-x^2-1}=\frac{-c^2(x^3-1)^2}{-(x-1)^2}=c^2(x^2+x+1)^2=(cx+cx^2+c)^2=(a+b+c)^2$

(đpcm)

[Juliel]

Câu III phần 1 mình làm như thế này:

Đặt $\frac{a\sqrt{2013}-b}{c\sqrt{2013}-a}=x$

$\Rightarrow a(\sqrt{2013}+x)=cx\sqrt{2013}+b\Rightarrow a^2(2013+2\sqrt{2013}x+x^2)=2013c^2x^2+2cbx\sqrt{2013}+b^2\Rightarrow 2\sqrt{2013}x(a^2-bc)+2013a^2+a^2x^2-2013c^2x^2-b^2=0$

(1)

$\Rightarrow 2\sqrt{2013}x(a^2-bc)\in \mathbb{Q}\Rightarrow a^2-bc=0$ (vì nếu $x=0$ thì $a\sqrt{2013}=b$ (vô lí). Thay $a^2=bc$ vào(1) rồi phân tích thành nhân tử, ta có $(2013c-b)(b-cx^2)=0\Rightarrow b=cx^2$  (vì nếu $2013c=b$ thì $a=\sqrt{bc}=\sqrt{2013}c$ (vô lí). Từ đó ta có $a=cx$. Suy ra $\frac{2a^3-b^3-c^3}{2a-b-c}=\frac{2c^3x^3-c^3x^6-c^3}{2cx-cx^2-c}=\frac{c^2(2x^3-x^6-1)}{2x-x^2-1}=\frac{-c^2(x^3-1)^2}{-(x-1)^2}=c^2(x^2+x+1)^2=(cx+cx^2+c)^2=(a+b+c)^2$

(đpcm)

Ừ, cũng đang định nhờ bạn giải giúp. Công nhận bạn giỏi thật ! Mình làm ra tới $kx=a;a^{2}=bc$ rồi cũng đứng hình luôn

 

À bạn post đề vòng 1 luôn đi !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-05-2013 - 11:21

[BlackSelena]

Câu ptnn:
Nhận thấy 19 và 97 đều là số nguyên tố, tức $\frac{19}{97}$ là phân số tối giản.
Để thuận tiện, ta đặt $y = -y$ . Từ điều trên ta được phép đặt $\left\{\begin{matrix} x+y = 19k\\ x^2 - xy + y^2 = 97k \end{matrix}\right.$ với $k$ là số nguyên 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y = 19k\\ xy = \dfrac{361k^2-97k}{3} \end{matrix}\right.$

Vậy theo định lý $\text{ Viète}$, ta có $x,y$ là 2 nghiệm của phương trình $3X^2 - 57kX + 361k^2 - 97k$

Lập $Delta$ phương trình trên, ta chặn được $0 < k < 2$, tức $k=1$.

Vậy $x+y = 19$ tới đây dễ dàng.

Bộ nghiệm của phương trình là $(x;y) = (11; -8) , (-8 ; 11)$

___
Câu hpt khá đơn giản, $x=y=z=0$ là 1 nghiệm, xét trường hợp 3 biến khác $0$ rồi nhân từng phương trình lại sẽ thấy điều vô lý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 29-05-2013 - 11:35

[babystudymaths]

Câu ptnn:
Nhận thấy 19 và 97 đều là số nguyên tố, tức $\frac{19}{97}$ là phân số tối giản.
Để thuận tiện, ta đặt $y = -y$ . Từ điều trên ta được phép đặt $\left\{\begin{matrix} x+y = 19k\\ x^2 - xy + y^2 = 97k \end{matrix}\right.$ với $k$ là số nguyên 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y = 19k\\ xy = \dfrac{361k^2-97k}{3} \end{matrix}\right.$

Vậy theo định lý $\text{ Viète}$, ta có $x,y$ là 2 nghiệm của phương trình $3X^2 - 57kX + 361k^2 - 97k$

Lập $Delta$ phương trình trên, ta chặn được $0 < k < 2$, tức $k=1$.

Vậy $x+y = 19$ tới đây dễ dàng.

Bộ nghiệm của phương trình là $(x;y) = (11; -8) , (-8 ; 11)$

___
Câu hpt khá đơn giản, $x=y=z=0$ là 1 nghiệm, xét trường hợp 3 biến khác $0$ rồi nhân từng phương trình lại sẽ thấy điều vô lý.

Bài này còn 1 cách khác là sử dụng phép chia hết để chứng minh x-y=19,rất đơn giản,

Công nhận đề của trường bạn Hiền k hề dễ nhai tí nào, trường mình chiều nay cũng thi thử chuyên, có gì sẽ post đề cho các bạn(hi vọng đề dễ nhai tí)

[etucgnaohtn]

 

Câu V: (1 điểm)

Các số nguyên dương từ $1$ đến $10$ được xếp ngẫu nhiên chung quanh một đường tròn. Chứng minh rằng trong $10$ số trên có ít nhất 3 số xếp liên tiếp mà tổng của chúng không nhỏ hơn $17$

Bài này mình bỏ mất câu hình. Cũng may các phần còn lại làm được hết. Không biết các bạn khác đi thi thế nào   
.

• Trả lời
   

Mình không rành lắm về Đirichle nên làm theo cách này , các bạn xem đúng không nhá

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến 10

Ta phải chứng minh trong các số thuộc tập hợp S có ít nhất 3 số xếp liên tiếp mà tổng của chúng lớn hơn hoặc bằng $17$

Giả sử không có cặp 3 số xếp liên tiếp nào mà tổng của chúng lớn hơn hoặc bằng $17$

Khi đó bất kì cặp 3 số xếp liên tiếp nào trong tập hợp S nhỏ hơn $17$ . Suy ra 9 số bất kì nào trong tập hợp S cũng có tổng nhỏ hơn $51$ ( vì các số được xếp trên đường tròn nên 9 số bất kì nào cũng xếp liên tiếp nhau )

Nhưng trong tập hợp S ban đầu ta có thể chỉ ra 1 bộ 9 số có tổng lớn hơn 51 , đó là bộ các số tự nhiên từ 2 đến 10 ( tổng bằng $54$) . Do đó mâu thuẫn với điều giả sử

Vậy điều giả sử trên là sai suy ra đpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 29-05-2013 - 12:54

[etucgnaohtn]

 

Câu I:Xác định các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2013x^2-(m-2014)x+2015$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $(\sqrt{x_{1}^2+2013}-x_{1})(\sqrt{x_{2}^2+2013}-x_{2})=2013$. Tìm 2 nghiệm đó

•  

Theo mình $2013x^2-(m-2014)x+2015$ chỉ là 1 biểu thức , không phải là 1 phương trình 

Nếu pt là $2013x^2-(m-2014)x+2015=0$ thì tìm được $m=2014$ , khi đó pt vô nghiệm ???

Nếu làm như trauvang97 thì pt phải là $2013x^2-(m-2014)x-2015=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 29-05-2013 - 13:04

[etucgnaohtn]

$\left\{\begin{matrix}(x+y)z=\sqrt{xy}\\ (y+x)x=\sqrt{yz}\\ (z+x)y=\sqrt{zx}\end{matrix}\right.$

Lấy $PT(1)-PT(2)$ ta được : $\sqrt{y}(\sqrt{z}-\sqrt{x})(\sqrt{yz}+\sqrt{yx}+1)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 29-05-2013 - 14:42

[etucgnaohtn]

 

Câu II: (3 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $\dfrac{x-y}{x^2+xy+y^2}=\dfrac{19}{97}$

Đề bài cho $x^2+xy+y^2$ ở mẫu số nên $x^2+xy+y^2\neq 0$

Nhân cả 2 vế của pt với $97(x^2+xy+y^2)\neq 0$ ta được : $19(x^2+xy+y^2)=97(x-y)$

$\Leftrightarrow 19x^2+x(19y-97)+19y^2+97y=0$ (1)

Để (1) có nghiệm thì phải có : $\Delta \geq 0\Leftrightarrow -1083y^2-11058y+9409\geq 0$

Nên $y\in \left \{ -11;-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0 \right \}$

Sau khi thử ta được các nghiệm nguyên$(x,y)$ là $(8;-11)$ $,$ $(11;-8)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 29-05-2013 - 14:39

[vutuanhien]

Theo mình $2013x^2-(m-2014)x+2015$ chỉ là 1 biểu thức , không phải là 1 phương trình 

Nếu pt là $2013x^2-(m-2014)x+2015=0$ thì tìm được $m=2014$ , khi đó pt vô nghiệm ???

Nếu làm như trauvang97 thì pt phải là $2013x^2-(m-2014)x-2015=0$

Đã sửa lại đề bài   

[laiducthang98]

Đề bài cho $x^2+xy+y^2$ ở mẫu số nên $x^2+xy+y^2\neq 0$

Nhân cả 2 vế của pt với $97(x^2+xy+y^2)\neq 0$ ta được : $19(x^2+xy+y^2)=97(x-y)$

$\Leftrightarrow 19x^2+x(19y-97)+19y^2+97y=0$ (1)

Để (1) có nghiệm thì phải có : $\Delta \geq 0\Leftrightarrow -1083y^2-11058y+9409\geq 0$

Nên $y\in \left \{ -11;-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0 \right \}$

Sau khi thử ta được các nghiệm nguyên$(x,y)$ là $(8;-11)$ $,$ $(11;-8)$

cái này minh cx tính delta như bạn thế quái nào mà nó ra hơn 300 TH hjxhjx  

[laiducthang98]

công nhận bài cuối đề lần này dễ thật!

[laiducthang98]

Bác nào làm câu hình đi câu này khó nhai thế ???

[laiducthang98]

Câu ptnn:
Nhận thấy 19 và 97 đều là số nguyên tố, tức $\frac{19}{97}$ là phân số tối giản.
Để thuận tiện, ta đặt $y = -y$ . Từ điều trên ta được phép đặt $\left\{\begin{matrix} x+y = 19k\\ x^2 - xy + y^2 = 97k \end{matrix}\right.$ với $k$ là số nguyên 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y = 19k\\ xy = \dfrac{361k^2-97k}{3} \end{matrix}\right.$

Vậy theo định lý $\text{ Viète}$, ta có $x,y$ là 2 nghiệm của phương trình $3X^2 - 57kX + 361k^2 - 97k$

Lập $Delta$ phương trình trên, ta chặn được $0 < k < 2$, tức $k=1$.

Vậy $x+y = 19$ tới đây dễ dàng.

Bộ nghiệm của phương trình là $(x;y) = (11; -8) , (-8 ; 11)$

___
Câu hpt khá đơn giản, $x=y=z=0$ là 1 nghiệm, xét trường hợp 3 biến khác $0$ rồi nhân từng phương trình lại sẽ thấy điều vô lý.

mình tg câu hệ này còn nghiệm x=y=z=1/2 mà 

[vutuanhien]

Câu hệ phương trình ở đề này rất nhiều bạn thiếu nghiệm $x=y=z=\dfrac{-1}{2}$. 

Hôm đi thi mình cũng suýt thiếu, may mà kịp nhận ra 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 29-05-2013 - 20:46