Bài toán 33: Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(\frac{1}{4}f(y)+2x)=4x+y+1$
Bài giải :
C1: Cố định $x$ ta thấy $f$ song ánh. Nên tồn tại $a$ để $f(a)=0$
Cho $x=\frac{a}{2},y=a$ có $f(\frac{1}{4}f(a)+a)=3a+1 \Rightarrow a=-\frac{1}{3}$
Cho $y=a$ có $f(\frac{1}{4}f(a)+2x)=4x+a+1 \Rightarrow f(2x)=4x+\frac{2}{3} \Rightarrow f(x)=2x+\frac{2}{3}$ (thỏa)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=2x+\frac{2}{3}$
C2 : Chọn $y=0$ ta có : $f(\frac{1}{4}f(0)+2x)=4x+1$
Đặt $z=\frac{1}{4}f(0)+2x => x=\frac{z-\frac{1}{4}f(0)}{2}$
Khi đó $f(z)=4\frac{z-\frac{1}{4}f(0)}{2}+1=2z-\frac{1}{2}f(0)+1$
Thay ngược vào ta tìm được $f(0)=\frac{2}{3}$ => $f(z)=2z+\frac{2}{3}$ hay $f(x)=2x+\frac{2}{3}$
Vậy $f(x)=2x+\frac{2}{3}$ là hàm cần tìm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-05-2013 - 19:45