Chủ đề này có 2 trả lời

[cuoichutdi]

Chứng minh rằng:$\varphi (a^n-1)$ chia hết cho $n$ với mọi $a$,$n$ là số nguyên dương

 

 

[whatever2507]

$ord_{a^n-1}(a)$ hiển nhiên bằng $n$, $gcd(a^n-1,a)=1$ nên $a^n-1|a^{\varphi(a^n-1)}-1$ suy ra $n|\varphi(a^n-1)$

[nguyenta98]

Chứng minh rằng:$\varphi (a^n-1)$ chia hết cho $n$ với mọi $a$,$n$ là số nguyên dương

Một cách giải khác

Giải như sau:

Bổ đề: $q|\dfrac{a^{p^x}-1}{a^{p^{x-1}}-1}$ thì $q \equiv 1 \pmod{p^{x}}$
Chứng minh:

Ta có đặt $a^{p^{x-1}}=k$ khi đó $q|k^{p-1}+...+k+1$ lại có $gcd(k-1,k^{p-1}+...+k+1)|p$ và $k-1 \not \vdots p$ nên $gcd(k-1,k^{p-1}+...+k+1)=1$
Gọi $ord_q(a)=h$ khi đó $q|a^h-1$ nên $h|p^x$ mà $gcd(k-1,k^{p-1}+...+k+1)=1$ hay $gcd(k-1,q)=1$ nên $h=p^x$ vì nếu $h=p^{x-t}$ với $t\geq 1$ thì $q|a^h-1|a^{p^{x-1}}-1=k-1$ mâu thuẫn, dp đó $h=p^x$ mà theo Fermat nhỏ $a^{q-1}-1 \vdots q$ nên $q-1 \vdots h$ hay $q \equiv 1 \pmod{p^{x}}$ Bổ đề được chứng minh

$$**********$$

Đặt $n=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$

Kí hiệu $Q_{p}(A)=A^{p-1}+A^{p-2}+...+A+1$ khi ấy theo bổ đề trên ta có thể viết $q_{p}|Q_{p}(a^{p^{x-1}})$ thì $p^x|q_p-1$

Khi đó $a^n-1=(a^{p_1^{a_1-1}...p_k^{a_k-1}}-1)\prod Q_{p_i}(a^{p_1^{a_1}...p_{i-1}^{a_{i-1}}.p_i^{a_i-1}...p_k^{a^k-1}}) \vdots q_{p_1}.q_{p_2}...q_{p_n}$ mà theo bổ đề $q_{p_1}-1 \vdots p_1^{a_1},....,q_{p_n}-1 \vdots p_k^{a_k}$ mà $gcd(p_i^{a_i},p_j^{a_j})=1$ nên nếu có $q_{p_i}=q_{p_j}$ thì cũng không ảnh hưởng gì nên ta chỉ coi $q_{p_1},...,q_{p_n}$ khác nhau đôi một

Từ đó $\varphi(a^n-1)=(q_{p_1}-1)(q_{p_2}-1)...(q_{p_k}-1).B$ với $B$ là một số tự nhiên nào đó nên $\varphi(a^n-1) \vdots \prod(p_i^{a_i}) \vdots n$ đpcm

 

Chú ý, các bạn nên tham khảo thêm kiến thức về Cyclotomic Polynomials

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 30-05-2013 - 12:51