Với $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thoả $ab+bc+ca=1$, $m,n,p=const$
Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 30-05-2013 - 10:53
Với $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thoả $ab+bc+ca=1$, $m,n,p=const$
Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 30-05-2013 - 10:53
bài này chẳng qua là cân bằng hệ số trong AM-GM thôi mà. Nhưng cho m,n,p không rõ ràng như vậy làm sao ra được.
Với $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thoả $ab+bc+ca=1$, $m,n,p=const$
Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$
Lời giải :Giả sử biểu thức có giá trị nhỏ nhất là $2x$
Ta cần chứng minh :
$$ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}\geq 2x(ab+bc+ca)$$
$$\Leftrightarrow (m+x)a^{2}+(n+x)b^{2}+(p+x)c^{2}\geq x(a+b+c)^{2}$$
$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).1\geq (a+b+c)^{2}$$
Để bất đẳng thức là đúng nên ta sẽ chọn $1=\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}$
nghĩa là :
$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).(\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p})\geq (a+b+c)^{2}$$.
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là $2x$ với $x$ là nghiệm của phương trình $\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}=1$ hay là $2x^{3}+(m+n+p)x^{2}-mnp=0$.
Một ví dụ để thực hành là: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thõa mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm min của $A= 40a^{2}+27b^{2}+14c^{2}$.
Lời giải :Giả sử biểu thức có giá trị nhỏ nhất là $2x$
Ta cần chứng minh :
$$ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}\geq 2x(ab+bc+ca)$$
$$\Leftrightarrow (m+x)a^{2}+(n+x)b^{2}+(p+x)c^{2}\geq x(a+b+c)^{2}$$
$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).1\geq (a+b+c)^{2}$$
Để bất đẳng thức là đúng nên ta sẽ chọn $1=\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}$
nghĩa là :
$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).(\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p})\geq (a+b+c)^{2}$$.
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là $2x$ với $x$ là nghiệm của phương trình $\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}=1$ hay là $2x^{3}+(m+n+p)x^{2}-mnp=0$.
Một ví dụ để thực hành là: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thõa mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm min của $A= 40a^{2}+27b^{2}+14c^{2}$.
Cách giải hay nhưng có một điều là giá trị $min$ lẻ thì giải phương trình bậc 3 khá vất vả.
Cách giải hay nhưng có một điều là giá trị $min$ lẻ thì giải phương trình bậc 3 khá vất vả.
Cái này tuỳ thuộc vào độ nhân từ của đề bài thôi,hoặc có thể kết luận miin khi nó là nghiệm nhỏ nhất của phương trình đó (pt có thể giải bằng lượng giác hoá),với lại cách này xét dấu bằng dễ hơn cân bằng,nếu dùng cân bằng hệ số thì khó tìm lắm
m,n,p âm dương lẫn lộn thì nguy hiêm nhỉ
Lời giải :Giả sử biểu thức có giá trị nhỏ nhất là $2x$
Ta cần chứng minh :
$$ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}\geq 2x(ab+bc+ca)$$
$$\Leftrightarrow (m+x)a^{2}+(n+x)b^{2}+(p+x)c^{2}\geq x(a+b+c)^{2}$$
$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).1\geq (a+b+c)^{2}$$
Để bất đẳng thức là đúng nên ta sẽ chọn $1=\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}$
nghĩa là :
$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).(\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p})\geq (a+b+c)^{2}$$.
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là $2x$ với $x$ là nghiệm của phương trình $\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}=1$ hay là $2x^{3}+(m+n+p)x^{2}-mnp=0$.
Một ví dụ để thực hành là: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thõa mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm min của $A= 40a^{2}+27b^{2}+14c^{2}$.
Bạn xem lại giúp ,mình nhé:
Trong cuốn BĐT của anh Võ Quốc Bá Cẩn có baì:
Cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=1
Tìm MIN $P=x^{2}+2y^{2}+5z^{2}$
Nếu tính theo cách của bạn thì ra min P=2,
Nhưng trong sách tính được min P=5 khi $x=\frac{3}{\sqrt{11}},y=\frac{2}{\sqrt{11}},z=\frac{1}{\sqrt{11}}$
Bạn xem lại giúp mình nhé.
ONG NGỰA 97.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh