Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 VNSTaipro

VNSTaipro

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hoàng Hoa Thám, Đà Nẵng

Đã gửi 30-05-2013 - 10:53

Với $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thoả $ab+bc+ca=1$,    $m,n,p=const$

Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 30-05-2013 - 10:53

Hình đã gửi


#2 cuoichutdi

cuoichutdi

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Đã gửi 30-05-2013 - 10:58

bài này chẳng qua là cân bằng hệ số trong AM-GM thôi mà. Nhưng cho m,n,p không rõ ràng như vậy làm sao ra được.



#3 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 30-05-2013 - 16:08

Với $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thoả $ab+bc+ca=1$,    $m,n,p=const$

Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$ 

Lời giải :Giả sử biểu thức có giá trị nhỏ nhất là $2x$

Ta cần chứng minh :

$$ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}\geq 2x(ab+bc+ca)$$

$$\Leftrightarrow (m+x)a^{2}+(n+x)b^{2}+(p+x)c^{2}\geq x(a+b+c)^{2}$$

$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).1\geq (a+b+c)^{2}$$

Để bất đẳng thức là đúng nên ta sẽ chọn $1=\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}$

nghĩa là :

$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).(\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p})\geq (a+b+c)^{2}$$.

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là $2x$ với $x$ là nghiệm của phương trình $\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}=1$ hay là $2x^{3}+(m+n+p)x^{2}-mnp=0$.

 

Một ví dụ để thực hành là: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thõa mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm min của $A= 40a^{2}+27b^{2}+14c^{2}$.


~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#4 buomdem

buomdem

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

Đã gửi 30-05-2013 - 17:33

Lời giải :Giả sử biểu thức có giá trị nhỏ nhất là $2x$

Ta cần chứng minh :

$$ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}\geq 2x(ab+bc+ca)$$

$$\Leftrightarrow (m+x)a^{2}+(n+x)b^{2}+(p+x)c^{2}\geq x(a+b+c)^{2}$$

$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).1\geq (a+b+c)^{2}$$

Để bất đẳng thức là đúng nên ta sẽ chọn $1=\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}$

nghĩa là :

$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).(\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p})\geq (a+b+c)^{2}$$.

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là $2x$ với $x$ là nghiệm của phương trình $\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}=1$ hay là $2x^{3}+(m+n+p)x^{2}-mnp=0$.

 

Một ví dụ để thực hành là: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thõa mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm min của $A= 40a^{2}+27b^{2}+14c^{2}$.

Cách giải hay nhưng có một điều là giá trị $min$ lẻ thì giải phương trình bậc 3 khá vất vả.



#5 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 30-05-2013 - 21:45

Cách giải hay nhưng có một điều là giá trị $min$ lẻ thì giải phương trình bậc 3 khá vất vả.

Cái này tuỳ thuộc vào độ nhân từ của đề bài thôi,hoặc có thể kết luận miin khi nó là nghiệm nhỏ nhất của phương trình đó (pt có thể giải bằng lượng giác hoá),với lại cách này xét dấu bằng dễ hơn cân bằng,nếu dùng cân bằng hệ số thì khó tìm lắm :D


~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#6 tuannguyenhue1

tuannguyenhue1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hoa quả sơn

Đã gửi 30-05-2013 - 21:47

m,n,p âm dương lẫn lộn thì nguy hiêm nhỉ :lol:



#7 ongngua97

ongngua97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:volleyball.

Đã gửi 05-07-2013 - 13:14

Lời giải :Giả sử biểu thức có giá trị nhỏ nhất là $2x$

Ta cần chứng minh :

$$ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}\geq 2x(ab+bc+ca)$$

$$\Leftrightarrow (m+x)a^{2}+(n+x)b^{2}+(p+x)c^{2}\geq x(a+b+c)^{2}$$

$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).1\geq (a+b+c)^{2}$$

Để bất đẳng thức là đúng nên ta sẽ chọn $1=\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}$

nghĩa là :

$$\Leftrightarrow (\frac{m+x}{x}a^{2}+\frac{n+x}{x}b^{2}+\frac{p+x}{x}c^{2}).(\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p})\geq (a+b+c)^{2}$$.

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là $2x$ với $x$ là nghiệm của phương trình $\frac{x}{x+m}+\frac{x}{x+n}+\frac{x}{x+p}=1$ hay là $2x^{3}+(m+n+p)x^{2}-mnp=0$.

 

Một ví dụ để thực hành là: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thõa mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm min của $A= 40a^{2}+27b^{2}+14c^{2}$.

Bạn xem lại giúp ,mình nhé:

 

Trong cuốn BĐT  của anh Võ Quốc Bá Cẩn có baì:

Cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=1

Tìm MIN $P=x^{2}+2y^{2}+5z^{2}$

 

Nếu tính theo cách của bạn thì ra min P=2,

Nhưng trong sách tính được min P=5 khi $x=\frac{3}{\sqrt{11}},y=\frac{2}{\sqrt{11}},z=\frac{1}{\sqrt{11}}$

 

Bạn xem lại giúp mình nhé.:)


ONG NGỰA 97. :wub: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh