Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bosnia Herzegovina Team Selection Test 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 30-05-2013 - 11:03

Ngày 1
Câu 1
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Các đường phân giác trong $AM,BN$ cắt đường cao $CH$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng nếu đường thẳng $d$ đi qua trung điểm các đoạn thẳng $QN,PM$ thì $d$ song song với $AB$.
 
Câu 2.
Cho dãy $(a_n)$ xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix}a_0=a_1=1\\a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}-4 ,\forall n \geq 1 \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đều là số chính phương
 
Câu 3.
Chứng minh rằng từ tập hợp gồm có $\binom{2n}{n}$ người, ta luôn có thể tìm được 1 nhóm có $n+1$ người sao cho hoặc mọi người trong nhóm đều quen nhau hoặc không ai quen ai cả.
 
Ngày 2
Câu 4. 
Tìm tất cả cá số nguyên tố $p,q$ sao cho $p$ chia hết $30q-1$ và $q$ chia hết $30p-1$
 
Câu 5
Cho $x_1,x_2,...x_n$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Đặt:
$$F_n=x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_n^{2}-2(x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1) $$
Hãy tìm:
a) $\min F_3$
b) $\min F_4$
c) $\min F_5$
 
Câu 6.
Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Ta chọn các điểm $P,Q,R$ lần lượt trên các đoạn thẳng $IA,IB,IC$ sao cho $$IP.IA=IQ.IB=IR.IC$$
Chứng minh rằng các điểm $I$ và $O$ nằm trên đường thẳng Euler của tam giác $PQR$

 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 whatever2507

whatever2507

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatorics :D

Đã gửi 30-05-2013 - 18:17

Chém câu dãy số :)):

Câu 2. Lập dãy phụ $(b_n): b_0=b_1=1; b_{n+1}=4b_n-b_{n-1}$, Ta CMR quy nạp rằng $a_n=(b_n)^2 \forall n (*)$.

$(*)$ đúng với $n=0; n=1$, giả sử $(*)$ đúng $\forall 0 \leq k \leq n$. Ta CMR: $a_{n+1}=(b_{n+1})^2   (1)$.

Trước tiên ta viết lại dãy $(b_n)$ dưới dạng: $b_{n+1}=\frac{b_n^2-2}{b_{n-1}} \Rightarrow b_{n+1}b_{n-1}-b_n^2=2  (2)$.

Theo công thức xác định dãy $(a_n)$ ta có: $a_{n+1}=14b_n^2-b_{n-1}^2-4$.

Do đó $(1) \Leftrightarrow (4b_n-b_{n-1})^2=14b_n^2-b_{n-1}^2-4 \Leftrightarrow b_{n+1}b_{n-1}-b_n^2=2$ (đúng theo $(2)$).

Vậy mệnh đề $(*)$ đúng $\forall n$ và ta có đpcm.

 

 

 

 

 



#3 mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-05-2013 - 18:23

Chém câu dãy số :)):

Câu 2. Lập dãy phụ $(b_n): b_0=b_1=1; b_{n+1}=4b_n-b_{n-1}$, Ta CMR quy nạp rằng $a_n=(b_n)^2 \forall n (*)$.

$(*)$ đúng với $n=0; n=1$, giả sử $(*)$ đúng $\forall 0 \leq k \leq n$. Ta CMR: $a_{n+1}=(b_{n+1})^2   (1)$.

Trước tiên ta viết lại dãy $(b_n)$ dưới dạng: $b_{n+1}=\frac{b_n^2-2}{b_{n-1}} \Rightarrow b_{n+1}b_{n-1}-b_n^2=2  (2)$.

Theo công thức xác định dãy $(a_n)$ ta có: $a_{n+1}=14b_n^2-b_{n-1}^2-4$.

Do đó $(1) \Leftrightarrow (4b_n-b_{n-1})^2=14b_n^2-b_{n-1}^2-4 \Leftrightarrow b_{n+1}b_{n-1}-b_n^2=2$ (đúng theo $(2)$).

Vậy mệnh đề $(*)$ đúng $\forall n$ và ta có đpcm.

bài này lập phương trình đặc trưng của dãy rồi tìm được công thức tổng quát thôi mà!


:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#4 whatever2507

whatever2507

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatorics :D

Đã gửi 30-05-2013 - 18:49

bài này lập phương trình đặc trưng của dãy rồi tìm được công thức tổng quát thôi mà!

Bạn up lời giải lên đi, coi như 1 cách làm khác :)).

Chém luôn câu số cho nó nóng :)):
Câu 4. Dễ thấy rằng $p, q \neq 2, 3, 5$ và $p \neq q \Rightarrow \exists$ 1 số $\geq 11$ và 1 số $\geq 7$.

Ta có $pq|(30p-1)(30q-1) \Rightarrow pq|30(p+q)-1$. Đặt $30(p+q)-1=kpq (*) (k \in \mathbb{N^*})$

$\Rightarrow 30(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})-\frac{1}{pq}=k$

$\Rightarrow k \leq 30(\frac{1}{7}+\frac{1}{11}) $

$\Rightarrow k \leq 7$.

Lại từ $(*)$ ta phân tích thành $(kp-30)(kq-30)=900-k$.

Nhận xét: Nếu $2|k$ thì $4|VT \Rightarrow 4|VP$

$\Rightarrow 4|k$

$\Rightarrow k=4$

$\Rightarrow (2p-15)(2q-15)=224$ nên không tồn tại $p, q$ thoả mãn.

Vậy k lẻ.

  • Nếu $k=3$ thì $9|VT \Rightarrow 9|VP \Rightarrow 9|897$ (vô lý).
  • Nếu $k=5$ thì $25|VT \Rightarrow 25|VP \Rightarrow 25|895$ (vô lý).
  • $k=1$, thay vào giải trực tiếp ta được $(p;q)=(59; 61); (61; 59); (929; 31); (31;929)$
  • $k=7$, giải được $(p;q)=(11;7); (7;11)$.

KL: Có 6 bộ $(p;q)$ thoả mãn là $(59;61); (61;59)$ và $(7; 11); (11;7)$ và $(929; 31); (31;929)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whatever2507: 30-05-2013 - 22:10


#5 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 30-05-2013 - 22:04

Bài $1$ giải như sau

Gọi $X$,$Y$ lần lượt là trung điểm $PM$ và $QN$

ta có $\angle CPM=\angle APM=90^{\circ}-\frac{\angle A}{2}=\angle CMP$$\rightarrow \Delta CMP$ cân tại $C$ 

$\rightarrow \measuredangle CXA=90^{\circ}=\measuredangle CHA$

$\rightarrow CAHX$ nội tiếp

$\Rightarrow \measuredangle CHX=\measuredangle CAX=\measuredangle HAX=\measuredangle HCX$

Tương tự $\rightarrow XY\perp AB$

>:) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 30-05-2013 - 22:06

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#6 whatever2507

whatever2507

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatorics :D

Đã gửi 01-06-2013 - 17:44

Làm luôn câu 3 cho hết ngày 1 :)

Câu 3. Đề bài chỉ ra khá rõ hướng làm là định lý Ramsey trong đồ thị, ta đưa về CM: Trong đồ thị đầy đủ $G=(V;E), |V|=C^n_{2n}$ được tô màu cạnh bằng 2 màu thì tồn tại đồ thị con đầy đủ $n+1$ cạnh cùng màu, tức là CM: $R(n+1, n+1) \leq C^n_{2n}$.

Trước tiên ta CM 2 bổ đề:

Bổ đề 1: $\forall s, t>2$ thì: $R(s,t) \leq R(s-1, t)+R(s, t-1)$.

CM: Đặt $N=R(s-1, t)+R(s, t-1)$, xét 1 cách tô màu xanh đỏ các cạnh của một đồ thị $K_N$ ($K_N$ ký hiệu đồ thị đầy đủ $N$ đỉnh). Gọi $A$ là một đỉnh bất kỳ. Trong $N-1$ cạnh kề A có không ít hơn $R(s-1, t)$ cạnh màu xanh hoặc $R(s, t-1)$ cạnh màu đỏ. WLOG giả sử có $R(s-1, t)$ cạnh màu xanh kề $A$. Các đầu mút khác $A$ của các cạnh này sẽ tạo thành $1$ đồ thị đầy đủ $R(s-1, t)$ đỉnh. Theo định lý Ramsey đồ thị này chứa một đồ thị con $K_{s-1}$ cạnh màu xanh hoặc $K_t$ cạnh màu đỏ. Trong TH đầu tiên, lấy thêm $A$ ta có đồ thị con $K_s$ với các cạnh màu xanh còn với TH2 ta có ngay đồ thị $K_t$ cạnh đỏ, từ đó ta có đpcm.

Bổ đề 2: $\forall s, t \geq 2, R(s,t) \leq C^{s-1}_{s+t-2}$.

CM: Bổ đề này dễ dàng CM được bằng quy nạp kết hợp bổ đề 1: $$R(s,t) \leq R(s-1,t)+R(s,t-1) \leq C^{s-2}_{s+t-3}+C^{s-1}_{s+t-3}=C^{s-1}_{s+t-2}$$ (đẳng thức Pascal).

Trở lại bài toán, áp dụng bổ đề 2 ta có $R(n+1, n+1) \leq C^{n+1-1}_{n+1+n+1-2}=C^n_{2n}$ (đpcm) :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whatever2507: 01-06-2013 - 17:49


#7 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 04-06-2013 - 23:51

Câu $5$ giải như sau

$F_3=(x_1+x_2+x_3)^2-4(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) \ge (x_1+x_2+x_3)^2-\frac{4}{3}(x_1+x_2+x_3)^2=-\frac{1}{3}$

$F_4=-1+\frac{3}{2}\left[(x_1+x_3)^2+(x_2+x_4)^2\right]+\frac{1}{2}\left[(x_1-x_3)^2+(x_2-x_4)^2\right]\ge-1+\frac{3}2\left[(x_1+x_3)^2+(x_2+x_4)^2\right]\ge-\frac{1}{4}$

$F_5=-1+\left[(x_1+x_3)^2+(x_1+x_4)^2+(x_2+x_4)^2+(x_2+x_5)^2+(x_3+x_5)^2\right]\ge-1+\frac{4}5=-\frac{1}{5}$


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#8 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 16-02-2020 - 01:27

úy






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh