Chủ đề này có 4 trả lời

[mystery266]

Tìm GTLN,GTNN $y=1+\frac{3sinx}{2+cosx}$

[dungvuvanqctb97]

dat tan(x/2)=a,sau do dung mien gia tri ham so

[maxolo]

Tìm GTLN,GTNN $y=1+\frac{3sinx}{2+cosx}$

Chỉ cần xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $z = \sin x/(2+\cos x)$. Hàm số này có đạo hàm

$$z' = \frac{1+ 2 \cos x}{(2+\cos x)^2}$$

Hàm số có giá trị lớn nhất/nhỏ nhất tại một hoặc vài điểm tới hạn của $z$, tức là các điểm mà $z'=0$. Ở đây, $z'=0$ tại hai điểm $x = \pm 2\pi/3$. Dễ dàng kiểm tra hàm $z$ đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $2\pi/3$ là $\sqrt{3}/3$ và cực tiểu (và nó cũng là giá trị nhỏ nhất) là $-\sqrt{3}/3$. Để tìm giá trị lớn nhất của $y$, chỉ cần thay $y=1+3z$ ta thu được giá trị lớn nhất là $1+\sqrt{3}$ và giá trị nhỏ nhất $1-\sqrt{3}$.

[mystery266]

Chỉ cần xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $z = \sin x/(2+\cos x)$. Hàm số này có đạo hàm

$$z' = \frac{1+ 2 \cos x}{(2+\cos x)^2}$$

Hàm số có giá trị lớn nhất/nhỏ nhất tại một hoặc vài điểm tới hạn của $z$, tức là các điểm mà $z'=0$. Ở đây, $z'=0$ tại hai điểm $x = \pm 2\pi/3$. Dễ dàng kiểm tra hàm $z$ đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $2\pi/3$ là $\sqrt{3}/3$ và cực tiểu (và nó cũng là giá trị nhỏ nhất) là $-\sqrt{3}/3$. Để tìm giá trị lớn nhất của $y$, chỉ cần thay $y=1+3z$ ta thu được giá trị lớn nhất là $1+\sqrt{3}$ và giá trị nhỏ nhất $1-\sqrt{3}$.

em chưa được học đạo hàm, liệu có cách nào khác để giải không ạ

[maxolo]

em chưa được học đạo hàm, liệu có cách nào khác để giải không ạ

Như đã biết, mình chỉ cần xét hàm 

$$z = \frac{\sin x}{2+\cos x}$$

Hàm số này có tính chất là $z(-x) = -z(x)$. Như vậy, hàm có tính đối xứng, nên chỉ cần xét giá trị lớn nhất, vì giá trị nhỏ nhất là giá trị âm đối của giá trị lớn nhất đó.

 

Xét hàm số 

$$z^2 = \left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)^2 = \frac{\sin^2 x}{4+4\cos x +\cos^2 x} = \frac{1-t^2}{4+4t+t^2}$$

Ở đây, ta đặt $t = \cos x$ và $\sin ^2x = 1-t^2$.

Bây giờ, nếu $a$ nằm trong miền giá trị của hàm $z^2$ thì có $t$ trong $[-1,1]$ để cho

$$ \frac{1-t^2}{4+4t+t^2} = a$$

Nhân chéo lên ta được

$$1-t^2 = a(4+4t+t^2)$$

Nhóm các số hạng theo số mũ của $t$ để được tam thức bậc hai theo $t$

$$(a+1)t^2 + 4at +(4a-1) = 0$$

Phương trình bậc hai phải có nghiệm vì $a$ nằm trong miền giá trị của $z^2$, từ đó suy ra $\Delta' \geqslant 0$. Tính định thức

$$\Delta' = 4a^2 - (a+1)(4a-1) = -3a+1$$

Điều kiện $\Delta'\geqslant 0$ tương đương với $a\leqslant 1/3$. Dấu "$=$" xảy ra khi $\Delta '=0$ và phương trình có nghiệm 

$$t = -1/2$$

Vậy ta được giá trị lớn nhất của $z^2$ là $1/3$ đạt được khi $\cos x = t = -1/2$. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của $z$ là $\sqrt 3/3$ đạt được tại điểm $\cos x = -1/2$ và $\sin x = \sqrt 3/2$ còn giá trị nhỏ nhất là giá trị đối của giá trị lớn nhất $-\sqrt 3/3$ đạt được tại $\cos x = -1/2$ và $\sin x = -  \sqrt 3/2$. Giải các điều kiện chi tiết được kết quả như trên. Vậy là xong nhỉ.