Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

TOPIC:Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng THCS


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 31 trả lời

#1 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 30-05-2013 - 20:52

Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng là nội dung thường gặp trong các đề thi chọn lọc học sinh giỏi toán lớp 8;9,thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên,năng khiếu.Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng đối với một số bạn học sinh THCS còn hơi xa lạ và chưa được làm quen nhiều.Nên mình xin mở ra TOPIC Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng THCS để giúp các bạn làm quen với nó và không còn e ngại khi gặp những bài toàn này :D

 

Mong các bạn ủng hộ :P

 


"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#2 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 30-05-2013 - 20:58

Mình xin đóng góp cho topic bài toán:

 

Bài toán 1: Cho tứ giác lồi $ABCD$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đường chéo $AC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $P$. Đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ cắt $AD$ tại $Q$. Chứng minh rằng:

 

                               $\frac{1}{MP^{2}+MQ^{2}}\leq \frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{CD^{2}}$

 

Đẳng thức xảy ra khi nào???



#3 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 30-05-2013 - 20:59

Bài 2:Cho $\widehat{xAy}=60^o$.B là điểm trên tia $Ax$,$C$ là điểm trên tia $AY$.($B \neq A,C \neq A$).Chứng minh rằng:

$$AB+AB \le 2BC$$

Bài 3:Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và một đường tròn $(O)$ tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $B$ và $C$.

Từ $M$ trên cung $BC$ vẽ $MA_1;MB_1;MC_1$ lần lượt vuông góc với $BC,AC,AB$ ($A_1 \in BC,B_1\in AC,C_1 \in AB$)

Xác định vị trí của điểm $M$ để $MA_1.MB_1.MC_1$ đạt giá trị lớn nhất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 30-05-2013 - 20:59

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#4 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 30-05-2013 - 21:09

Bài toán 2: Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng:

 

    $AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}\geq 2\sqrt{3}S_{ABCD}+\frac{AC^{2}-BD^{2}}{2}$



#5 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 30-05-2013 - 21:23

Bài toán 2: Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng:

 

    $

 

Mình xin đóng góp cho topic bài toán:

 

Bài toán 1: Cho tứ giác lồi $ABCD$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đường chéo $AC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $P$. Đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ cắt $AD$ tại $Q$. Chứng minh rằng:

 

                               $\frac{1}{MP^{2}+MQ^{2}}\leq \frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{CD^{2}}$

 

Đẳng thức xảy ra khi nào???

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:

$(AB^2+CD^2)(MP^2+MQ^2) \ge (AB.MQ+CD.MP)^2$

Ta lại có:

$\dfrac{AB.MQ+CD.MP}{AB.DC}=\dfrac{MQ}{DC}+\dfrac{MP}{AB}$

Mà theo định lí Talet thì ta dễ dàng chỉ ra được:

$\dfrac{MQ}{DC}+\dfrac{MP}{AB}=1$

$\Longrightarrow AB.MQ+CD.MP=AB.DC$

$\Longrightarrow (AB.MQ+CD.MP)^2 \ge AB^2.DC^2$

$\Longrightarrow (AB^2+CD^2)(MP^2+MQ^2) \ge AB^2.DC^2$

$\Longrightarrow \dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{CD^2} \ge \dfrac{1}{MQ^2+MP^2}$

Đẳng thức xảy ra khi tứ giác $ABCD$ là hình bình hành và $M$ là trung điểm của $AC$

Có sai sót gì mong mọi người góp ý :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 30-05-2013 - 21:25

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#6 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-05-2013 - 09:47

Cho (O;R), BC là dây cố định (BC<2R). A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để diện tích tam giác ABC đạt GTLN


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 01-06-2013 - 14:43


#7 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-05-2013 - 10:11

Cho tam giác ABC vuông tại A. Ở phía ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC. Một đường thẳng d đi qua A cắt hai nửa đường tròn tại M, N(khác A). Xác định vị trí của d để tứ giác BCNM có chu vi lớn nhất

 

 

 

Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức Cô-si


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 31-05-2013 - 10:12


#8 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-05-2013 - 10:20

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và G là trọng tâm tam giác. Các đường trung tuyến từ các đỉnh A,B,C lần lượt cắt (O) tại A1,B1,C1. Hãy xác định hình dạng của tam giác ABC để$\frac{1}{GA_{1}}+\frac{1}{GB_{1}}+\frac{1}{GC_{1}}$ là lớn nhất



#9 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-05-2013 - 10:46

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên ác cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao cho BK:KC=4:1; CM:MD=4:1. Tìm tỉ số AB:BC để số đo $\widehat{KAM}$ lớn nhất

 

 

Cho công thức biến đổi: $tg(x+y)=\frac{tgx+tgy}{1-tgx.tgy}$



#10 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-05-2013 - 10:52

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1, điểm M nằm trên đường chéo BD.

a) Nêu cách đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AD và CD. Nêu cách dựng (K) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AB,AC

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường chéo BD thì tổng chu vi hai đường tròn không đổi 

c) Xác định vị trí điểm M trên BD để tổng diện tích của hai hình tròn đạt GTNN



#11 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-06-2013 - 14:51

Gọi A' là điểm chính giữa cung lớn BC

Khi A$\equiv$A' thì S$_{ABC}$ đạt GTLN

Thật vậy: S$_{ABC}$$= \frac{A'M.BC}{2}$

Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC)

$\Rightarrow$ AM<AH

Tam giác AOM có: AM<OM+OA

                              AM<OM+OA'

                              AM<A'M

Vậy AH<A'M thì S$_{ABC}$<S$_{A'BC}$

Vậy khi M là trung điểm của BC thì diện tích tam giác ABC đạt GTLN



#12 nhjm nhung

nhjm nhung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-06-2013 - 15:54

Một tam giác có độ dài 3 cạnh là a, b, c thõa mãn (a+b-c)+ (b+c-a)+ (c+a-b)= a+ b+c.

Chứng minh tam giác đó là tam giác đều



#13 tuannguyenhue1

tuannguyenhue1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hoa quả sơn

Đã gửi 01-06-2013 - 16:03

 

Một tam giác có độ dài 3 cạnh là a, b, c thõa mãn (a+b-c)+ (b+c-a)+ (c+a-b)= a+ b+c.

Chứng minh tam giác đó là tam giác đều

 

ta có bài toán tương đương với $\sum ab(a+b)\doteq 6abc$ mà $\sum ab(a+b)\geq 6abc$ nên đây là tam giác đều



#14 Hung Ton

Hung Ton

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chín hát, Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ
  • Sở thích:HH,RM,TWD,FM,TTT,TBHTB,blabla

Đã gửi 04-06-2013 - 21:48

BÀI 4

Cho tam giác ABC. M nằm trong tam giác. MD:ME;MF lần lượt vuông góc với BC;CA:AB. ĐẶt BC=a; CA=b; AB=c. MD=x; ME=y; MF=z

Tính MIN A=$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hung Ton: 04-06-2013 - 21:49

:oto:  @};-  :ph34r:    :wub:   :huh:Ù :icon10:    :icon4:  G   :biggrin: T :blink: O  :angry:  N   <_<  :ph34r:  %%- :ukliam2:


#15 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 03-09-2013 - 08:52

bạn hungton viết lại dạng latex đi, nếu k chã ai làm đâu

nhưng thôi để mình xem

:D



#16 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 03-09-2013 - 09:05

à ra rồi

lời giải đây!

hình tự vẽ đi

$Ta$ $có:$ $ ax+by+cz=2S(ABC)$ (tính S từng tam giác nhỏ là được)

$áp$ $dụng$ $bđt$ $b.c.s$ $có:$

$(ax+by+cz)(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z})\geq (a+b+c)^2$

$=>\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq \frac{((a+b+c)^2)}{ax+by+cz}$

$<=>\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq \frac{((a+b+c)^2)}{2S_{ABC}}$

$vậy$ $ min$ $ là$ $ dấu$ $ =$ $ xảy$ $ ra$ $ khi$ $ M$ $ là$ $ tâm$ $ đường$ $ tròn$ $ nội$ $ tiếp$

:D chúc vui vẻ ~.~


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 03-09-2013 - 09:06


#17 faith94

faith94

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Chu du

Đã gửi 19-10-2013 - 21:39

Các bạn oi làm giúp mình bài này với:

Cho đường tròn (O,R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R.căn2. Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng (MA + căn2 x MB) đạt giá trị nhỏ nhất.


Cuộc đời là những chuyến đi


#18 pcfamily

pcfamily

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Kim Sơn B
  • Sở thích:Jazz, Pop ballad

Đã gửi 19-10-2013 - 22:38

Mượn anh Perfectstrong cái hình :D

 

Untitled-120.png

Vẽ đường thẳng $OA$ giao $(O)$ tại $C,D$ và $C$ nằm giữa $O,A$
Trên đoạn $OC$ lấy $I$ sao cho $R={\sqrt 2}OI \Rightarrow \dfrac{OI}{OM}=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{OM}{OA}$           
 $\Rightarrow \vartriangle OMI \sim \vartriangle OAM (c.g.c) \Rightarrow MA=\sqrt 2 MI$
$\Rightarrow MA+\sqrt 2 MB=\sqrt 2(MI+MB) \geq \sqrt 2 IB$
Dấu bằng xảy ra khi $M=IB\bigcap (O)$

Vậy $Min(MA+\sqrt{2}MB)=IB \Leftrightarrow M=IB\bigcap (O)$

 

P/s: Bạn này chắc ở Phú Xuyên thi sáng nay hở :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcfamily: 19-10-2013 - 23:00


#19 binhnhat123

binhnhat123

    Binh nhất

  • Banned
  • 23 Bài viết

Đã gửi 13-12-2013 - 09:03

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a; BC=2AB. Dựng nửa tam giác đều DEF có góc EDF=900 sao cho D thuộc BC, E thuộc Ab và F thuộc AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác DEF.



#20 congchuasaobang

congchuasaobang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:toán học, đọc truyện, nghe nhạc, ăn và chơi

Đã gửi 07-02-2014 - 16:38

Câu 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác góc ABC tại H

                  a, C/m: AE // BH

                  b, Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là F, cắt  CE tại I. Tính diện tích $\Delta FID$  trong trường hợp tam giác đó đều ? ( Với $sin 15^{\circ}\approx 0,2588$ )Δtrong trường hợp tam giác đó đều? ( Với sin150,2588

                  c, Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK = HD, gọi J là giao điểm của AF và BH. Xác định ví trí của C để tổng các khoảng cách từ các điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất

 

Câu 2: Trên 3 cạnh  AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=k$. Tìm k để $S \Delta MNP = \frac{5}{8} S\Delta ABC$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh