Bài toán 2: Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng:
$
Mình xin đóng góp cho topic bài toán:
Bài toán 1: Cho tứ giác lồi $ABCD$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đường chéo $AC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $P$. Đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ cắt $AD$ tại $Q$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{MP^{2}+MQ^{2}}\leq \frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{CD^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi nào???
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
$(AB^2+CD^2)(MP^2+MQ^2) \ge (AB.MQ+CD.MP)^2$
Ta lại có:
$\dfrac{AB.MQ+CD.MP}{AB.DC}=\dfrac{MQ}{DC}+\dfrac{MP}{AB}$
Mà theo định lí Talet thì ta dễ dàng chỉ ra được:
$\dfrac{MQ}{DC}+\dfrac{MP}{AB}=1$
$\Longrightarrow AB.MQ+CD.MP=AB.DC$
$\Longrightarrow (AB.MQ+CD.MP)^2 \ge AB^2.DC^2$
$\Longrightarrow (AB^2+CD^2)(MP^2+MQ^2) \ge AB^2.DC^2$
$\Longrightarrow \dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{CD^2} \ge \dfrac{1}{MQ^2+MP^2}$
Đẳng thức xảy ra khi tứ giác $ABCD$ là hình bình hành và $M$ là trung điểm của $AC$
Có sai sót gì mong mọi người góp ý
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 30-05-2013 - 21:25