Chủ đề này có 2 trả lời

[mystery266]

Cho 3 số a,b,c không âm ,chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+(a+c)^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+(b+a)^{3}}}\geq 1$

[tuannguyenhue1]

gợi ý nè hãy chứng minh $\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ và các cái kia tương tự từ đó suy ra ĐPCM

[trauvang97]

Cho 3 số a,b,c không âm ,chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+(a+c)^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+(b+a)^{3}}}\geq 1$

 

Ta có:  $\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}=\sqrt{\frac{1}{1+\left (\frac{b+c}{a} \right )^{3}}}$

 

Đặt $\frac{b+c}{a}=x$ thì $\sqrt{1+\left (\frac{b+c}{a} \right )^{3}}=\sqrt{1+x^{3}}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^{2})}\leq \frac{x^{2}+2}{2}$

 

Do đó: $\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq \frac{2}{x^{2}+2}=\frac{2}{\left ( \frac{b+c}{a} \right )^{2}+2}=\frac{2a^{2}}{(b+c)^{2}+2a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

 

Tương tự ta có:  $\sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+(c+a)^{3}}}\geq \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

 

                          $\sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+(a+b)^{3}}}\geq \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

 

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 31-05-2013 - 10:03