Chủ đề này có 4 trả lời

[mystery266]

Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh

$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}+(\frac{ab+bc+ac}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\geq 28$

[tuannguyenhue1]

BĐT thức tương đương với $\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 28$ do $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ (côsi) và$\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}\doteq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+2$ nên BĐT cần chứng minh tuaong đương với $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 2$ đúng theo BĐT côsi

[bachhammer]

Đây hình như là câu 4 đề đề nghị thi olimpic 30/4 của Thoại Ngọc Hầu-An Giang năm 2011 nhỉ? Phương pháp là chứng minh bất đẳng thức:

$(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{(a+b+c)^{6}}{27}$. Sau đó xài Cauchy là xong ngay.

[mystery266]

BĐT thức tương đương với $\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 28$ do $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ (côsi) và$\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}\doteq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+2$ nên BĐT cần chứng minh tuaong đương với $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 2$ đúng theo BĐT côsi

 

 

Đây hình như là câu 4 đề đề nghị thi olimpic 30/4 của Thoại Ngọc Hầu-An Giang năm 2011 nhỉ? Phương pháp là chứng minh bất đẳng thức:

$(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{(a+b+c)^{6}}{27}$. Sau đó xài Cauchy là xong ngay.

mình gõ thiếu đề mà mà vẫn giải dc ak???? sợ thiệt   đề thực ra là như vậy nè

Cho a,b,c,là 3 số thực dương Chứng minh rằng

$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}+(\frac{ab+bc+ac}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})^{2}\geq 28$

mọi người xơi giúp em

[tuannguyenhue1]

ta có BĐT đã cho tương đương với $\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}+(\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})^{2}\geq 28$ do $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ và $\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab}\geq 3$ côsi cộng thêm với $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\doteq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})+2\geq \frac{2(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}+2=\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+6$ (bunyakovski 2 tổng trong ngoặc) nên ta chỉ còn phải chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+(\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})^{2}\geq 3$ đung theo BĐT Cauchy 3 số