Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

QUỸ TÍCH HÌNH HỌC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 32 trả lời

#1 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 31-05-2013 - 11:59

Qũy tích là một trong những dạng toán thách thức ở THCS. Nhân đây mình mở chuyên đề này để cùng thảo luận về các bài toán quỹ tích hình học ở THCS.

Trước hết, xin NHẮC LẠI về quỹ tích:"Một hình H được gọi là quỹ tích của các điểm có tính chất (hay tập hợp các điểm có tính chất T) khi và chỉ khi nó chứa các điểm có tính chất T".

Ta nhắc lại thêm về cách giải các bài toán quỹ tích: muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

a) Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T điều thuộc hình H. Thực chất của phần này là việc đi tìm hình dạng của quỹ tích (kiểm tra một vài trường hợp cụ thể, dự đoán và sử dụng lặp luận để chứng minh quỹ tích cần tìm). Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình H chứa các điểm M có tính chất T,thế nhưng sẽ có một vài trường hợp đặc biệt mà quỹ tích vừa tìm không thỏa. Chính vì thế ta sẽ thực hiện công việc thứ hai là giới hạn quỹ tích(nếu có) của một tập hợp các điểm M.

b) Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H (hoặc giới hạn của hình H đã tìm ở trên) đều có tính chất T. Mục tiêu chính của phần này chính là xác minh lại một lần nữa (trong nhiều trường hợp việc xét phần đảo sẽ là bằng chứng chắc chắn nhất cho lặp luận của mình).

Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta sẽ rút ra kết luận: Qũy tích của những điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H (hoặc giới hạn của hình H nếu có).Trên thực tế , việc tìm ra được quỹ tích của một tập hợp điểm nào đó có lẽ qua đoán nhận (nếu thực sự chưa đoán được thì tốt nhất là nên thử với các trường hợp cụ thể,ít nhất là 3 trường hợp, nhưng không nên thử với các trường hợp đặc biệt).

Sau đây ta sẽ nói về các tập hợp điểm cơ bản:

1. Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

2. Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó.

3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng a cho trước một khoảng bằng h không đổi gồm hai đường thẳng song song với đường thẳng a và cách đường thẳng a một khoảng bằng h.

4. Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R (R lớn hơn 0) không đổi là đường tròn (O;R).

5. Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng a (hiển nhiên a dương và nhỏ hơn 180 độ) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc a vẽ trên đoạn AB).

:excl: Lưu ý:

1. Tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thì thường xuất hiện 3 yếu tố:

a) Yếu tố cố định: thường là các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng,...

b) Yếu tố ko đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc,...

c) Yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc các đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó chứa các điểm ta cần tìm quỹ tích.

2. Ngoài các phương pháp tìm quỹ tích còn một phương pháp khác nữa (bí quá hả làm liều), đó là gắn hệ trục tọa độ và tìm phương trình của tập hợp điểm (cái này chắc chưa cần xài đâu).

3. Phần dự đoán rất quan trọng nên cần thận trọng (nhớ xem xét giới hạn nữa).

Trên đây là các kiến thức cần nắm, còn dưới đây sẽ là các bài tập (mời các bạn tham gia giải, gửi sơm sớm, mình sẽ bình luận (nếu thấy có gì đó chưa ổn, hay rút bớt lời giải và kinh nghiệm giải)). Trước hết xin giới thiệu 3 bài cơ bản (nói vậy chứ cũng hơi khó đấy nhé):

1.Cho góc vuông xOy cố định và một điểm A cố định trên Ox, điểm C chuyển động trên Oy. Dựng tam giác đều ACB nằm bên trong góc xOy. Tìm quỹ tích các đỉnh B của tam giác ABC.

2. Cho tam giác cân ABC (AB=AC) cố định và điểm M chuyển động trên cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN=BM. Vẽ hình bình hành BMNP. Tìm quỹ tích đỉnh P của hình bình hành này.

3. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy. Dựng hình vuông ABCD nằm trong góc xOy. Tìm tập hợp giao điểm I  hai đường chéo của hình vuông này.

...Và còn nhiều bài toán quỹ tích hấp dẫn hơn nữa (từ từ mình đăng hết). Giải thử nhé các bạn!!! :luoi:  :icon6:  


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#2 phuocthinh02

phuocthinh02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thống Nhất A
  • Sở thích:Học toán, nghe nhạc, chơi game,...

Đã gửi 31-05-2013 - 15:07

 

1.Cho góc vuông xOy cố định và một điểm A cố định trên Ox, điểm C chuyển động trên Oy. Dựng tam giác đều ACB nằm bên trong góc xOy. Tìm quỹ tích các đỉnh B của tam giác ABC.

2. Cho tam giác cân ABC (AB=AC) cố định và điểm M chuyển động trên cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN=BM. Vẽ hình bình hành BMNP. Tìm quỹ tích đỉnh P của hình bình hành này.

3. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy. Dựng hình vuông ABCD nằm trong góc xOy. Tìm tập hợp giao điểm I  hai đường chéo của hình vuông này.

không biết làm ^^ giải xem nào   :P  :P  :P


:botay  :rolleyes:  Được voi đòi.....Hai Bà Trưng :rolleyes:   :botay 


#3 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 31-05-2013 - 17:16

Mình giải một bài đầu tiên làm mẫu nhé (tự vẽ hình): Dự đoán quỹ tích là đường thẳng (dự đoán thấy nó thẳng băng). Ta sẽ đi chứng minh quỹ tích cần tìm là một đường thẳng:

Phần thuận: Dựng tam giác đều AOD nằm trong góc xOy. Dễ nhận thấy D cố định. Ta có: $\widehat{OAC}=\widehat{DAB}(=60-\widehat{CAD})$

Từ đó chứng minh được hai tam giác AOC và tam giác ADB bằng nhau. Suy ra hai góc ADB và AOC cùng bằng 90, suy ra BD vuông góc với AD tại A. Mà D cố định nên rõ ràng B nằm trên một đường thẳng (đường thẳng này vuông góc với AD cố định).

Giới hạn: Vì điểm C chạy trên tia Oy nên: khi C trùng với O thì B trùng với D, còn khi C chạy trên tia Oy thì B chạy trên tia Dz (chứa DB).

Phần đảo: Lấy điểm B' bất kì trên tia Dz. Nối B' với A. Qua A kẻ tia Am hợp với AB' một góc 60, tia Am cắt Oy ở C'. Ta chỉ cần chứng minh tam giác AB'C' đều là xong (dễ mà).

Kết luận: Tập hợp các điểm B là tia Dz.

Nhận xét: qua lời giải trên ta cần chú ý các điểm sau:

1. Việc chứng minh nó nằm trên một đường thẳng ko nhất thiết phải theo một quy tắc nào trong số các nguyên tắc đã được trình bày ở trên (cần có lối suy nghĩ biến tấu và sáng tạo). Đó có thể là một đường thẳng cố định mà chỉ khi dựng thêm ta mới thấy.

2. Các yếu tố cố định là một trong những mấu chốt quan trọng nhất trong việc đi tìm quỹ tích của tập hợp điểm (nó có thể tự nhiên có (đề bài đã cho), nhưng cũng có nhiều trường hợp cần phải dựng thêm yếu tố cố định phụ (như trong trường hợp bài trên là một ví dụ) thì mới mong tìm ra được manh mối).

3. Trong này cần chú ý có đến 2 yếu tố thay đổi:điểm B và điểm C. Tuy nhiên B lại phụ thuộc vào C, vì thế cần chú ý xem xét kĩ thì mới có thể nghĩ đến dựng thêm tam giác đều để giải bài toán.

4. Ngoài hướng giải trên, ta có thể nghĩ ngay đến việc gắn hệ tọa độ (thường lớp 10 xài nhiều hơn).

5. ...Và còn nhiều nhận xét khác nữa tạm thời ko tiện nói (ai biết thì có thể nói, đây là thiên cơ bất khả lộ).

Tóm lại quỹ tích cho ta khám phá được nhiều điều. Hy vọng có thêm nhiều bạn giải 2 bài còn lại và các bài khác mình sắp đăng. Hãy tìm hiểu xem, bạn sẽ thích nó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 31-05-2013 - 17:17

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#4 chamhochocgioilatoi

chamhochocgioilatoi

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:hoc toan.

Đã gửi 01-06-2013 - 03:37

ban co the dua ra cac dang bai tap ap dung khong?



#5 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 01-06-2013 - 12:01

ban co the dua ra cac dang bai tap ap dung khong?

Tớ đưa ba bài tập rồi còn gì? Từ từ đưa thêm. Nếu bạn giải được 2 bài còn lại rồi thì cứ đưa lên đi. Nhưng cậu nói vậy thì ô kơ, tớ sẽ chia nhỏ dạng ra:

1. Qũy tích là một đường thẳng:

Câu 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Vẽ DE // AC; DF // AB (E nằm trên AB; F nằm trên AC). Gọi O là trụng điểm của EF. Tìm quỹ tích của O khi D di động trên cạnh BC.

Câu 2:Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=2 cm. Điểm N di động trên Oy. Vẽ tam giác AMN vuông cân tại A sao cho M nằm trong góc vuông xOy. Tìm quỹ tích của M khi N di động trên Oy.

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Từ một điểm H trên cạnh BC vẽ một đuờng thẳng vuông góc với BC, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại I, K. Gọi E là trung điểm của BI, F là trung điểm của CK. Tìm quỹ tích trung điểm của EF khi H di động trên BC.

2. Qũy tích là một đường tròn:

Câu 1: Cho đường tròn (O;R) và đoạn thẳng AB cố định nằm bên ngoài đường tròn (O). Gọi C là một điểm chuyển động trên đường tròn. Tìm tập hợp các trọng tâm G của tam giác ABC.

Câu 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=NB. Tìm quỹ tích các điểm N khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn (O).

... Và còn nhiều bài toán thú vị hơn. Tạm thời cứ thử sức với các bài này đi (nhớ vẽ hình ra nếu chưa thấy quỹ tích của nó nhé). 


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#6 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 06-06-2013 - 10:25

Mình đem lời giải câu 2 đây: 2. Cho tam giác cân ABC (AB=AC) cố định và điểm M chuyển động trên cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN=BM. Vẽ hình bình hành BMNP. Tìm quỹ tích đỉnh P của hình bình hành này.

Lời giải:

ƯWEWEWEW.png

Phần thuận: Tam giác CNP cân ở N vì có NC = NP (cùng bằng BM). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = NC. Dễ dàng chứng minh được tam giác AEN cân ở A và EN//BC. Từ đó ta có $\widehat{ANE}=\widehat{ENP}(=\widehat{AEN})$. Vì thế trong tam giác cân NCP ta lại có $NE\perp CP$, do vậy suy ra $BC\perp CP$ tại C.

Giới hạn:  Vì M chuyển động trên cạnh AB nên:

- Khi M trùng với B thì N trùng với C và P trùng với C.

- Khi M trùng với A thì N trùng với $N_{1}$ mà $CN_{1}=CA$, điểm P trùng với $P_{1}$ là đỉnh của hình bình hành $AN_{1}P_{1}B$.

Phần đảo: Trên đoạn $CP_{1}$ lấy điểm P' tuỳ ý. Vẽ hình bình hành BP'N'M' có điểm M' trên đoạn AB, điểm N' trên tia đối của tia CA. Ta chứng minh BM' = CN'.

Kết luận: Quỹ tích đỉnh P của hình bình hành AMNP là đoạn $CP_{1}$ ($CP_{1}\perp BC$).

AI MUỐN BÌNH LUẬN HAY THẮC MĂC THÌ NHÀO DZÔ!!!! :luoi: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 06-06-2013 - 10:29

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#7 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 10-06-2013 - 11:21

3. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy. Dựng hình vuông ABCD nằm trong góc xOy. Tìm tập hợp giao điểm I  hai đường chéo của hình vuông này.

 

fafafaf.png  

Lời giải:

Phần thuận: Tứ giác AIBO là tứ giác nội tiếp vì có $\widehat{A}+\widehat{I}=180^{\circ}$, suy ra $\widehat{IOB}=\widehat{IAB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IB), do đó $\widehat{IOA}=45^{\circ}$ nên OI là tia phân giác của góc AOB. Vậy điểm I chạy trên tia phân giác của góc xOy.

Giới hạn: vẽ hình vuông $AOC_{1}D_{1}$ nằm trong góc xOy. Vì điểm B chỉ chạy trên tia phân Ox nên khi B trùng với O thì C trùng với $C_{1}$, khi đó I trùng với $I_{1}$ là giao điểm của $OD_{1}$ với $AC_{1}$.

Phần đảo: Lấy điểm I' thuộc tia $I_{1}t$. Nối AI'. Trên nửa mặt phẳng bờ AI' chứa điểm O,vẽ tia AB'(B' thuộc Ox) sao cho $\widehat{I'AB'}=45^{\circ}$. Gọi C', D' lần lượt là các điểm đối xứng của A và B' qua I'. Chỉ cần chứng minh rằng I' là giao điểm hai đường chéo của hình vuông AB'C'D'.

Kết luận: Tập hợp các điểm I là tia $I_{1}t$ thuộc tia phân giác Ot của góc xOy.

Chú ý: trong bài này ta có hai yếu tố cố định (góc xOy và điểm A). Tuy nhiên có đến bốn điểm chuyển động (B,C,D,I). Cần lưu ý rằng ba điểm C, D, I chuyển động phụ thuộc vào sự chuyển động của B nên ta cần tìm mối liên hệ ràng buộc giữa bốn điểm này (trong đó cần lưu ý mối quan hệ ràng buộc giữa điểm I cần tìm quỹ tích và điểm B chuyển động).

AI CÓ BÌNH LUẬN HAY THẮC MẮC GÌ THÌ NHÀO DZÔ!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 10-06-2013 - 11:22

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#8 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 16-06-2013 - 09:12

Câu 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Vẽ DE // AC; DF // AB (E nằm trên AB; F nằm trên AC). Gọi O là trụng điểm của EF. Tìm quỹ tích của O khi D di động trên cạnh BC.

AÀẦÂFAFAF.png

Lời giải: 

Phần thuận: Tứ giác AFDE là hình bình hành suy ra trung điểm O của đường chéo EF cũng là trung điểm của đường chéo AD. Dựng đường cao AH, vẽ KO vuông góc với BC. Ta thấy OK bằng một nửa AH (không đổi vì tam giác ABC cố định) do OK là đường trung bình của tam giác AHD. Từ đó ta dễ dàng suy ra O chạy trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng AH/2.

Giới hạn: Dễ dàng nhận ra giới hạn của quỹ tích chính là đường trung bình MN của tam giác ABC (bằng cách cho điểm D chạy đến hai đỉnh B,C của tam giác ABC).

Phần thuận: Nếu ngược lại ta lấy một điểm O' nằm trên đoạn MN thì ta hoàn toàn hoàn toàn có điều ngược lại (Tự chứng minh được he).


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#9 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 16-06-2013 - 09:27

Câu 2:Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=2 cm. Điểm N di động trên Oy. Vẽ tam giác AMN vuông cân tại A sao cho M nằm trong góc vuông xOy. Tìm quỹ tích của M khi N di động trên Oy.

Lời giải: HKAHKDHK.png

Phần thuận: Vẽ MH vuông góc với Ox như hình vẽ. Ta dễ dàng chứng minh được hai tam giác MHA và AON bằng nhau từ đó ta suy ra MH=AO=2cm. Do đó ta thấy M sẽ chạy trên đường thẳng song song với Ox và cách Ox một khoảng là 2cm.

Giới hạn: Khi N trùng với O thì M trùng với K(K là đỉnh của tam giác AOK vuông cân tại A, K nằm trong góc vuông).

Phần đảo: Chứng minh ngược lại vô cùng đơn giản, xin dành cho các mem.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#10 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 22-06-2013 - 09:12

Từ giờ phút này trở đi, các bài toán sẽ mạnh hơn. Các bài ở trên xin nhường cho các bạn tự giải. Bây giờ chúng ta bắt đầu với bài đầu tiên:

Bài 1: Cho đường tròn (O;R) cố định và đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN ko trùng với đường kính AB. Dựng  tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B. AM, AN cắt tiếp tuyến này tại C, D. Gọi I, K là trung điểm của BC, BD. Tìm quỹ tích của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIK.

Cái hình đây nè!!!

AVASVSVDV.png
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 22-06-2013 - 09:45

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#11 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 24-06-2013 - 13:50

Hây, ko có ai đụng vô, đành tự giải vậy:

AVASVSVDV.png

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác ACD ta có $4R^{2}=AB^{2}=BC.BD=4BI.BK\Leftrightarrow BI.BK=R^{2}$. Gọi H là trực tâm tam giác AKI. Khi đó ta chứng minh hai tam giác IAB và HKB đồng dạng. Suy ra AB.HB=BK.BI. Từ đó suy ra AH=3/2R. Áp dụng tính chất của đường thẳng Euler ta có khoảng cách từ O đến IK bằng 3/4R không đổi. Do đó quỹ tích của O là một đường thẳng song song với IK cố định và cách đường thẳng ấy một khoảng bằng 3/4R.

Bài này ko có giới hạn.

Thấy topic của mình chán quá!!!(Có một mình mình trả lời hà, tội ghê :(). Ai đọc qua nhớ ủng hộ giùm nha...

Bài mới đây:

Bài 2: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó trên đường thẳng d. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB, AC thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d. Một điểm H chuyển động trên đoạn AB. Đường thẳng vuông góc với d ở H cắt cả hai nửa đường tròn nói trên lần lượt ở D và E. Gọi M là giao điểm hai đường thẳng DB và EC. Tìm quỹ tích điểm M.   

 


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#12 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 26-06-2013 - 11:44

AÁCDSDSDSDSDSD.png

Bài 2: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó trên đường thẳng d. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB, AC thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d. Một điểm H chuyển động trên đoạn AB. Đường thẳng vuông góc với d ở H cắt cả hai nửa đường tròn nói trên lần lượt ở D và E. Gọi M là giao điểm hai đường thẳng DB và EC. Tìm quỹ tích điểm M.   

Lời giải:

Phần thuận: Đặt AB = 2R, AC = 2R' thì R. R' là các độ dài ko đổi. Trong tam giác vuông ADB và AEC, ta có:

$AD^{2}=AB.AH=2R.AH;AE^{2}=AC.AH=2R'.AH$. Từ đó suy ra $AD.AE=2AH.\sqrt{R.R'}$. Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn vì D+E=180.

Suy ra hai góc AMD và AED bằng nhau. Từ đó tam giác DAM và HAE đồng dạng theo trường hợp g-g. Ta có: AD/AH=AM.AE. Suy ra $AM.AH=AD.AE=2AH.\sqrt{R.R'}\Rightarrow AM=2\sqrt{R.R'}$ không đổi. Từ đó điểm M chạy trên đường tròn tâm A bán kính $2\sqrt{R.R'}$. 

Giới hạn: Vì H chuyển động trên đoạn AB nên:

- Khi H trùng với A thì D và E trùng với A, khi đó M trùng với M1 như hình.

- Khi H trùng với B thì M trùng với M2 như hình.

Vậy nên H chạy trên cung M1M2.

Phần đảo: Lấy điểm M' thuộc cung M1M2. Các tia M'B và CM; cắt các nửa đường tròn đường kính AB, AC lần lượt ở D', E'. Các bạn có thể tự chứng minh D'E' vuông góc với AB.

Kết luận: Quỹ tích M là cung M1M2 thuộc đường tròn tâm A bán kính  $2\sqrt{R.R'}$. 

 

 

 

 

 


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#13 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 26-06-2013 - 11:51

Bài 3:  Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên cạnh AB, AC lấy 2 điểm M, N sao cho AM + AN = a. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.

Bài 4: Cho tam giác ABC có A, B cố định và C di động trên đường tròn (O) cố định ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi G, H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích G và H.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 26-06-2013 - 11:51

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#14 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 27-06-2013 - 12:51

BACHHAMMER.png

Bài 3:  Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên cạnh AB, AC lấy 2 điểm M, N sao cho AM + AN = a. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.

Lời giải: 

Phần thuận: Gọi L, K lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Theo đề bài ta thấy không mất tính tổng quát giả sử N nằm giữa A và K. Thế thì L nằm giữa M và A.

Đặt AN=b (a/2>b>0). Gọi I' là giao điểm của MN với LK.

Ta dễ dàng tính được $\frac{LA}{LM}=\frac{a}{a-2b};\frac{KN}{KA}=\frac{a-2b}{a}$.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AMN với ba điểm thẳng hàng M, I, N ta có:

$\frac{LA}{LM}.\frac{I'M}{I'N}.\frac{KN}{KA}=1\Leftrightarrow \frac{I'M}{I'N}=1\Leftrightarrow I'M=I'N$.

Hay nói cách khác I' là trung điểm của MN. 

Do đó I trùng với I', cũng tức là chạy trên KL.

Giới hạn:

- Khi M chạy đến A thì N chạy đến C (do AM+AN=a), nên I trùng với K.

- Khi M chạy đến B thì N chạy đến A, nên I trùng với L.

Vậy I chạy trên đoạn LK.

Phần đảo: Lấy điểm I' trên đoạn LK (ta chỉ cần xét I' ko trùng với K,L).

Cũng áp dụng định lí Menelaus như ở phần thuận, ta suy ra NK=LM. Từ đó suy ra AM+AN=a.

Kết luận: Qũy tích của điểm I là đoạn LK.

Ủng hộ mình nhiều nhiều nha, có ai muốn bình phẩm, bình luận, thắc mắc thì cứ nói!!! Mình sẵn sàng giải quyết...

Bài 4 cũng đơn giản, ai bít cách giải có thể post lên....

 

 

 


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#15 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-01-2014 - 16:29

Bachhammer tận tâm quá ha..Post thêm vài bài nữa.. Mình cố gắng ủng hộ TOPIC này...Hay mà chẳng thấy ai tham gia :D


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#16 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-01-2014 - 19:53



1. Qũy tích là một đường thẳng:

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Từ một điểm H trên cạnh BC vẽ một đuờng thẳng vuông góc với BC, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại I, K. Gọi E là trung điểm của BI, F là trung điểm của CK. Tìm quỹ tích trung điểm của EF khi H di động trên BC.

Xem hình:

 

1.png

 

Thuận: $AH$ giao $EF$ tại $O$.

Ta có: $\widehat{BIH}=\widehat{C}=\widehat{B}(+\widehat{B}=90^{0})$

$\Rightarrow \Delta BHI$ cân tại $H$ có $HE$ là đt.tuyến $\Rightarrow HE$ vuông góc $BI$

Tương tự, ta có $HF$ vuông góc $KC$

Vậy $EHFA$ là hình chữ nhật. $O$ là trung điểm $EF$ $\Rightarrow$ $O$ là trung điểm $HA$.

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AB;AC$

Sử dụng đường trung bình trong hai $\Delta BHA$ và $\Delta CHA$

$\Rightarrow$ $EO || BC;FO||BC\Rightarrow E;F;O$ thẳng hàng. 

Hay $O$ chuyển động trên đường trung bình $|| BC$ khi $H$ chuyển động trên $BC$

 

Giới hạn: Vì $H$ chuyển động trên cạnh $BC$ của $\Delta ABC$.

Nên khi $H\equiv B\Rightarrow O\equiv M; H\equiv C\Rightarrow O\equiv N$

 

Đảo: Lấy $O"$ thuộc đoạn $MN$. Một đường thẳng qua $O$ cắt các cạnh $AB$; $AC$ lần lượt tại $E;F$ sao cho $HE$ vuông góc $AB$;$HF$ vuông góc $AC$, $I$ là điểm đối xứng $B$ qua $E$; $HI$ cắt tia $CA$ tại $K$ . Từ đó, ta cần chứng minh $F$ là trung điểm của $KC$.

Đơn giản, ta có $\Delta BAC \sim \Delta KHC \Rightarrow KH=HC \Rightarrow \Delta HCK$ cân tại $H$ có $HF$ vuông góc $KC$ $\Rightarrow$ $F$ là trung điểm $KC$ (đ.p.cm.)

 

Kết luận: Trung điểm của $EF$ di chuyển trên đoạn $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ và $|| BC$ khi $H$ chuyển động trên cạnh $BC$.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

P/s: Em nghĩ bác Bachhammer nên post những bài đơn giản từ quỹ tích đường thẳng cho "nhuyễn" trước rồi ra bài khó sau.

Nhân tiện em soi được bài $3$ của bác sai ở dòng đầu và dòng $4$, bác xem lại nhé.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 04-01-2014 - 20:33

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#17 NamCam

NamCam

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 14-03-2014 - 17:18

Mọi người giúp đỡ mình bài này với ạ.

Cho đường tròn (O) bán kính R. từ điểm S nằm ngoài O vẽ tiếp tuyến SA,SD (A,D là tiếp điểm) .Gọi E là giao điểm của AD và OS. Đoạn thẳng OS cắt cắt cung AD tại I, Gọi H là trực tâm của tam giác SAD. Tìm tập hợp điểm H khi S di chuyển trên đường thẳng SA.



#18 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 15-03-2014 - 21:07

 

Xem hình:

 

attachicon.gif1.png

 

Thuận: $AH$ giao $EF$ tại $O$.

Ta có: $\widehat{BIH}=\widehat{C}=\widehat{B}(+\widehat{B}=90^{0})$

$\Rightarrow \Delta BHI$ cân tại $H$ có $HE$ là đt.tuyến $\Rightarrow HE$ vuông góc $BI$

Tương tự, ta có $HF$ vuông góc $KC$

Vậy $EHFA$ là hình chữ nhật. $O$ là trung điểm $EF$ $\Rightarrow$ $O$ là trung điểm $HA$.

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AB;AC$

Sử dụng đường trung bình trong hai $\Delta BHA$ và $\Delta CHA$

$\Rightarrow$ $EO || BC;FO||BC\Rightarrow E;F;O$ thẳng hàng. 

Hay $O$ chuyển động trên đường trung bình $|| BC$ khi $H$ chuyển động trên $BC$

 

Giới hạn: Vì $H$ chuyển động trên cạnh $BC$ của $\Delta ABC$.

Nên khi $H\equiv B\Rightarrow O\equiv M; H\equiv C\Rightarrow O\equiv N$

 

Đảo: Lấy $O"$ thuộc đoạn $MN$. Một đường thẳng qua $O$ cắt các cạnh $AB$; $AC$ lần lượt tại $E;F$ sao cho $HE$ vuông góc $AB$;$HF$ vuông góc $AC$, $I$ là điểm đối xứng $B$ qua $E$; $HI$ cắt tia $CA$ tại $K$ . Từ đó, ta cần chứng minh $F$ là trung điểm của $KC$.

Đơn giản, ta có $\Delta BAC \sim \Delta KHC \Rightarrow KH=HC \Rightarrow \Delta HCK$ cân tại $H$ có $HF$ vuông góc $KC$ $\Rightarrow$ $F$ là trung điểm $KC$ (đ.p.cm.)

 

Kết luận: Trung điểm của $EF$ di chuyển trên đoạn $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ và $|| BC$ khi $H$ chuyển động trên cạnh $BC$.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

P/s: Em nghĩ bác Bachhammer nên post những bài đơn giản từ quỹ tích đường thẳng cho "nhuyễn" trước rồi ra bài khó sau.

Nhân tiện em soi được bài $3$ của bác sai ở dòng đầu và dòng $4$, bác xem lại nhé.

 

ok, còn chuyện sai ở dòng nào thì các bạn cố gắng phát hiện và sửa lại giùm (mình chỉ nêu hướng ra thôi.....) :D


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#19 NamCam

NamCam

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 16-03-2014 - 13:23

Ai tìm giúp mình quỹ tích bài này với đc ko????

Cho đường tròn (O) bán kính R. từ điểm S nằm ngoài O vẽ tiếp tuyến SA,SD (A,D là tiếp điểm) .Gọi E là giao điểm của AD và OS. Đoạn thẳng OS cắt cắt cung AD tại I, Gọi H là trực tâm của tam giác SAD. Tìm tập hợp điểm H khi S di chuyển trên đường thẳng SA.



#20 dargonhy2000

dargonhy2000

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-07-2014 - 23:06

Nhờ các bạn giúp mình bài sau:

Cho đoạn AB cố định và một điểm M thay đổi trên đoạn AB. Kẻ tia Mx vuông góc AB. Trên tia Mx lấy 2 điểm E và F sao cho: ME/MA = MB/MF. Hạ EH vuông góc AF. Tìm quĩ tích của H.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dargonhy2000: 11-07-2014 - 23:11





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh