Trung úy
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với (O) ( A, B là các tiếp điểm ) . Vẽ đường kính BD của (O) , DM cắt (O) tại C , OM cắt AB tại H .
1) Chứng tỏ OM vuông góc với AB và tứ giác MCHB nội tiếp .
2) Chứng tỏ : MA.MB = MC.MD .
3) AC cắt MO tại I và BC cắt MO tai E .Chứng tỏ tứ giác ICOB nội tiếp và OE.OI = OH,OM .
4) Chứng tỏ I là trung điểm của MH .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 31-05-2013 - 20:54
Trung úy
Bài khó ( câu d) phải không các bạn ?
Trung úy
Các bạn giúp mình với .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 02-06-2013 - 17:53
Trung úy
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với (O) ( A, B là các tiếp điểm ) . Vẽ đường kính BD của (O) , DM cắt (O) tại C , OM cắt AB tại H .
1) Chứng tỏ OM vuông góc với AB và tứ giác MCHB nội tiếp .
2) Chứng tỏ : MA.MB = MC.MD .
3) AC cắt MO tại I và BC cắt MO tai E .Chứng tỏ tứ giác ICOB nội tiếp và OE.OI = OH,OM .
4) Chứng tỏ I là trung điểm của MH .
Câu 1: OM là trung trực của AB . Tứ giác MCHB nội tếp trong đường tròn đường kính MB .
Câu 2: Hai tam giác MAC và MDA đồng dạng .
Câu 3: Góc ACO = góc ACD + góc DCO = góc ABD + góc CDO = góc ABD + góc BAC = góc ABD + góc IBA = góc IBD , suy ra tứ giác ICOB nội tiếp ( ... Còn nhiều cách khác nữa ... )
............................................................................................................................................................................................................................
Mời các bạn tiếp tục .
Trung úy
Câu 1: OM là trung trực của AB . Tứ giác MCHB nội tếp trong đường tròn đường kính MB .
Câu 2: Hai tam giác MAC và MDA đồng dạng .
Câu 3: Góc ACO = góc ACD + góc DCO = góc ABD + góc CDO = góc ABD + góc BAC = góc ABD + góc IBA = góc IBD , suy ra tứ giác ICOB nội tiếp ( ... Còn nhiều cách khác nữa ... )
............................................................................................................................................................................................................................
Mời các bạn tiếp tục .
Ý thứ hai của câu 3:
Ta có : $OH.OM=OA^{2}$ (1)
góc OIA = góc OBC = góc CBA + góc ABO = góc EAB + góc OAB = góc OAE . Từ đó suy ra tam giác OAE đồng dạng với tam giác OIA . Suy ra : $OE.OI=OA^{2}$ (2)
Từ (1) , (2) cho : OH.OM = OE.OI (đpcm) .
Ý thứ hai của câu 3:
Ta có : $OH.OM=OA^{2}$ (1)
góc OIA = góc OBC = góc CBA + góc ABO = góc EAB + góc OAB = góc OAE . Từ đó suy ra tam giác OAE đồng dạng với tam giác OIA . Suy ra : $OE.OI=OA^{2}$ (2)
Từ (1) , (2) cho : OH.OM = OE.OI (đpcm) .
Câu 4: Tôi đang .. bí 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 01-06-2013 - 14:04
Trung úy
Câu 4:
Nếu I là trung điểm của MH thì : IM = IH .
Theo chứng minh trên ta có : OE.OI = OH.OM = (OI - IH).(OI + IM) = $OI^{2}- IM^{2}$ $\Rightarrow IO.IE = IM^{2}$
.............................................................................................................................................................................................
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 01-06-2013 - 14:34
Sĩ quan
Mình chỉ nghĩ được cách này, hơi vòng vo tam quốc ~.~
Trước tiên ta sẽ chứng minh $HC \perp AI$. Thật vậy, dễ thấy $HCMB$ nội tiếp (do $\angle BCM=\angle BHM=90^o$). Suy ra $\angle CHM=\angle CBM=\angle CDB=\angle HAC$.
Do đó $\angle HAC+\angle AHC=\angle CHM+\angle CHA=90^o$. Suy ra $\angle ACH=90^o$.
Dễ thấy $\triangle AHC \sim \triangle HIC \Rightarrow \dfrac{HI}{AH}=\dfrac{IC}{HC} \Rightarrow HI =\dfrac{AH.IC}{HC}$.
Mặt khác dễ thấy $DA \parallel OM$ nên theo Thales: $\dfrac{IM}{DA}=\dfrac{CI}{CA} \Rightarrow IM=\dfrac{DA.IC}{CA}$.
Như vậy từ việc chứng minh $HI=IM$ ta quy về chứng minh $\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{DA}{CA}$.
Nghĩa là ta cần chứng minh $\triangle DAH \sim \triangle ACH$.
Gọi $F$ là giao điểm của $BI$ và $(O)$. Dễ thấy rằng $IF.IB=IC.IA \Rightarrow IF=IC$. Suy ra $HI$ là trung trực $CF$. Do đó $\angle CHI=\angle IHF$.
Ta chứng minh $D,H,F$ thẳng hàng. Gọi $F'$ là giao điểm của $DH$ và $(O)$. Thế thì $\angle HF'B=90^o$.
Mặt khác, $\triangle HIC=\triangle HIF$, do đó $\angle HFI=\angle HCI=90^o$. Suy ra $\angle HFB=90^o$.
Như thế $\angle HF'B=\angle HFB=90^o$. Vì $F$ và $F'$ đều nằm trên $(O)$ nên chúng trùng nhau. Tức $D,H,F$ thẳng hàng.
Bây giờ do $AH \perp AI$ và $AI$ là phân giác $\angle CHF$ nên $AI$ là phân giác $CHD$. Tức $\angle CHA=\angle AHD$. Suy ra $\triangle DAH \sim \triangle ACH$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Trung úy
Bài này có cách nào khác không các bạn ?
Trung úy
Chẳng hạn , chứng minh : $MH^{2}=4IO.IE$
Trung sĩ
sao nói một mình ghê vậy bạn ???
Nothing is impossible
Trung úy
sao nói một mình ghê vậy bạn ???
Binh nhì
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với (O) ( A, B là các tiếp điểm ) . Vẽ đường kính BD của (O) , DM cắt (O) tại C , OM cắt AB tại H .
1) Chứng tỏ OM vuông góc với AB và tứ giác MCHB nội tiếp .
2) Chứng tỏ : MA.MB = MC.MD .
3) AC cắt MO tại I và BC cắt MO tai E .Chứng tỏ tứ giác ICOB nội tiếp và OE.OI = OH,OM .
4) Chứng tỏ I là trung điểm của MH .
Mình chỉ nghĩ được cách này, hơi vòng vo tam quốc ~.~
Trước tiên ta sẽ chứng minh $HC \perp AI$. Thật vậy, dễ thấy $HCMB$ nội tiếp (do $\angle BCM=\angle BHM=90^o$). Suy ra $\angle CHM=\angle CBM=\angle CDB=\angle HAC$.
Do đó $\angle HAC+\angle AHC=\angle CHM+\angle CHA=90^o$. Suy ra $\angle ACH=90^o$.
Dễ thấy $\triangle AHC \sim \triangle HIC \Rightarrow \dfrac{HI}{AH}=\dfrac{IC}{HC} \Rightarrow HI =\dfrac{AH.IC}{HC}$.
Mặt khác dễ thấy $DA \parallel OM$ nên theo Thales: $\dfrac{IM}{DA}=\dfrac{CI}{CA} \Rightarrow IM=\dfrac{DA.IC}{CA}$.
Như vậy từ việc chứng minh $HI=IM$ ta quy về chứng minh $\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{DA}{CA}$.
Nghĩa là ta cần chứng minh $\triangle DAH \sim \triangle ACH$.
Gọi $F$ là giao điểm của $BI$ và $(O)$. Dễ thấy rằng $IF.IB=IC.IA \Rightarrow IF=IC$. Suy ra $HI$ là trung trực $CF$. Do đó $\angle CHI=\angle IHF$.
Ta chứng minh $D,H,F$ thẳng hàng. Gọi $F'$ là giao điểm của $DH$ và $(O)$. Thế thì $\angle HF'B=90^o$.
Mặt khác, $\triangle HIC=\triangle HIF$, do đó $\angle HFI=\angle HCI=90^o$. Suy ra $\angle HFB=90^o$.
Như thế $\angle HF'B=\angle HFB=90^o$. Vì $F$ và $F'$ đều nằm trên $(O)$ nên chúng trùng nhau. Tức $D,H,F$ thẳng hàng.
Bây giờ do $AH \perp AI$ và $AI$ là phân giác $\angle CHF$ nên $AI$ là phân giác $CHD$. Tức $\angle CHA=\angle AHD$. Suy ra $\triangle DAH \sim \triangle ACH$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
d) $IH^{2}=IC.IA$ và $IM^{2}=IC.IA$
$\Rightarrow IH^{2}=IH^{2}$
Trung úy
d) $IH^{2}=IC.IA$ và $IM^{2}=IC.IA$
$\Rightarrow IH^{2}=IH^{2}$$HC \perp AI \wedge AH\perp HI \Rightarrow IH^{2}= IC.IA$
$\measuredangle IMC=\measuredangle ADC=\measuredangle IMA\Rightarrow \Delta ICM\sim \Delta IMA\Rightarrow IM^{2}=IC.IA$
Do đó : IH = IM . Vậy I là trung điểm của MH .
Tôi làm rõ ý giải của bạn Linh :
Trung úy
Xin đưa thêm một số câu hỏi :
5) Tính giá trị biểu thức : $\frac{OE}{OM}+\frac{OE}{OM}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
